Editorial for CF629C

daily_problems/2025/01/0109/solution/cf629c.md

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 一个括号序列合法，等价于把左括号看成 $1$ ，右括号看成 $-1$ ，任意前缀和都非负，且整体和为 $0$ 。
 
-于是，假设前缀部分的和为 $x$ ，则其加上中间部分的最小前缀和 $y$ 后应当非负。
+于是，假设前缀部分的和为 $x$ ，则其加上中间部分的最小前缀和 $y$ 后应当非负。同时，整体和为 $0$ 即可。
+
+前面部分唯一重要的信息就是长度还有和。后缀部分也是一样，所以考虑关于这件事 DP 。
 
 我们考虑进行长度为 $i$ 的和为 $j$ 的前缀数量为 $dp[i][j]$ ，则这个 DP 的转移关系相当容易：考虑下一位是 $1$ 还是 $-1$ ，需要满足 $j$ 加上之非负，则进一步发生 $dp[i+1][j-1]$ 或 $dp[i+1][j+1]$ 的转移。
 
 后缀部分的转移本质上是一样的，我们可以把后缀部分反转后，再把 $1$ 变成 $-1$ ， $-1$ 变成 $1$ 。
 
 我们可以枚举前缀的长度和数值和。则前缀加后缀的总长度等于 $n-m$ ，且整体和为 $0$ ，再加上前缀部分的和 $x$ 与中间部分的最小前缀和的和非负，即可完成前缀后缀两部分的选择。
 
-时间复杂度为 $\mathcal{O}((n-m)^2)$ 。
+时间复杂度为 $\mathcal{O}((n-m)^2)$ 。
+
+### 具体代码如下——
+
+Python 做法如下——
+
+```Python []
+def main():
+    n, m = MII()
+    s = I()
+
+    mod = 10 ** 9 + 7
+
+    dp = [[0] * 2001 for _ in range(2001)]
+    dp[0][0] = 1
+
+    for i in range(2000):
+        for j in range(i + 1):
+            if j:
+                dp[i + 1][j - 1] += dp[i][j]
+                if dp[i + 1][j - 1] >= mod:
+                    dp[i + 1][j - 1] -= mod
+            dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j]
+            if dp[i + 1][j + 1] >= mod:
+                dp[i + 1][j + 1] -= mod
+
+    cur = 0
+    cur_min = 0
+
+    for c in s:
+        if c == '(': cur += 1
+        else: cur -= 1
+        cur_min = fmin(cur, cur_min)
+
+    ans = 0
+    for i in range(n - m + 1):
+        for j in range(2001):
+            if j + cur_min >= 0 and 0 <= j + cur <= 2000:
+                ans += dp[i][j] * dp[n - m - i][j + cur] % mod
+                if ans >= mod: ans -= mod
+
+    print(ans)
+```
+
+C++ 做法如下——
+
+```cpp []
+int main() {
+    ios_base::sync_with_stdio(false);
+    cin.tie(0);
+    cout.tie(0);
+
+    int n, m, mod = 1e9 + 7;
+    cin >> n >> m;
+
+    string s;
+    cin >> s;
+
+    vector<vector<int>> dp(2001, vector<int>(2001, 0));
+    dp[0][0] = 1;
+
+    auto update = [&] (int &x, int y) -> void {
+        x += y;
+        if (x >= mod) x -= mod;
+    };
+
+    for (int i = 0; i < 2000; i ++) {
+        for (int j = 0; j <= i; j ++) { 
+            update(dp[i + 1][j + 1], dp[i][j]);
+            if (j) update(dp[i + 1][j - 1], dp[i][j]);
+        }
+    }
+
+    int cur = 0, cur_min = 0;
+
+    for (auto &c: s) {
+        cur += (c == '(' ? 1 : -1);
+        cur_min = min(cur_min, cur);
+    }
+
+    int ans = 0;
+    for (int i = 0; i <= n - m; i ++) {
+        for (int j = 0; j <= 2000; j ++) {
+            if (j + cur_min >= 0 && j + cur >= 0 && j + cur <= 2000) {
+                update(ans, 1ll * dp[i][j] * dp[n - m - i][j + cur] % mod);
+            }
+        }
+    }
+
+    cout << ans;
+
+    return 0;
+}
+```