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     \section{Mengenlehre}
     	\subsection{Naive Mengenlehre}
     	    In der naiven Mengenlehre ist eine Menge durch die Elemente, die sie umschließt, definiert.
-            Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$.
+            Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden\footnote{Jedes Element darf nur einmal in der Menge vorkommen}. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$.
 
             Eine Methode zur Beschreibung einer Menge $B$, welche alle durch zwei teilbaren natürlichen Zahlen enthält, ist:
 
             \begin{equation}
                 B = \{a \in \mathbb{N} | a \bmod 2 = 0\}
             \end{equation}
 
+            Alternativ lässt sich die Bedingung auch ausschreiben:
+
+            \begin{equation}
+            	B = \{a | a \text{ ist eine durch zwei teilbare, natürliche Zahl}\}
+            \end{equation}
+
             \subsubsection{Operatoren}
                 Auf Mengen lassen sich - wie bei normalen Zahlen - Operatoren anwenden, die im folgenden erläutert werden sollen.
 
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                     Die so entstandene Menge enthält Tupel mit allen möglichen Reihenfolgen, wie z.B. $\left(a, b, a, d, c, a, b\right)$, die einen Punkt im diskreten Raum $A^n$ beschreiben. Dieses Tupel hat eine Sortierung und kann Elemente mehrfach enthalten.
 
-                \paragraph{Kleene Operation}
+                \paragraph{Kleenesche Hülle}
                     Gegeben sei die Menge $A$. Für diese Menge ist die Kleene Operation folgendermaßen definiert:
 
                     \begin{equation}
-                        A^* = \bigcup_{i \in \mathbb{N} }= A^i=\Sigma^0\cup\Sigma^1\cup\Sigma^2\cup ...
+                        A^* = \bigcup_{i \in \mathbb{N} } A^i=A^0\cup A^1\cup A^2\cup ...
                     \end{equation}
+
+		\paragraph{Leere Menge ($\emptyset$)}
+			Die leere Menge definiert eine Menge, welche keine Elemente enthält. Sie wird entweder durch $\emptyset$ oder $\{\}$ dargestellt und ist in jeder Menge enthalten, jedoch nicht in jedem Mengensystem.
 
             \subsubsection{Sprachen}
                 Gegeben sei das Alphabet $\Sigma$. Daraus ergibt sich folgendes:
@@ -299,7 +308,8 @@
                 \end{tikzpicture}
             \end{center}
 
-        \subsection[DEA]{Deterministischer Endlicher Automat}
+        \subsection[DEA]{Deterministischer endlicher Automat}
+        \label{section:DiskreteMathematik:FormaleGrundlagen:DEA}
             Ein deterministischer endlicher Automat ist ein kantengewichteter Graph mit weiteren Eigenschaften.
 
             \subsubsection{Eigenschaften}
@@ -329,6 +339,26 @@
                         |S| + |\Sigma| < \infty
                     \end{equation}
 
+        \subsection[NEA]{Nicht deterministischer endlicher Automat}
+        	Ein nicht deterministischer endlicher Automat unterscheidet sich von einem \hyperref[section:DiskreteMathematik:FormaleGrundlagen:DEA]{DEA} indem seine Zustandsüberführungsfunktion nicht eindeutig ist, sondern eine Menge von Zuständen zurückgibt. Es kann also mehrere Zustände für ein gegebenes Wort geben.
+        	Formal wird ein NEA durch ein Quintupel aus den Elementen $(S, \Sigma, \delta, S_0, K)$ definiert:
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+        	\paragraph{Zustände ($S$)} Eine endliche, nicht leere Menge von möglichen Zuständen des DEA.
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+        	\paragraph{Eingabealphabet ($\Sigma$)} Eine endliche, nicht leere Menge aller Buchstaben die die Zustandsübergangsfunktion akzeptiert.
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+        	\paragraph{Zustandsübergangsfunktion ($\delta$)} Die Übergangsrelation gibt für einen gegebenen Zustand $s \in S$ und ein Buchstaben $a \in \Sigma$ die Menge der neuen Zustände zurück. Formal wird dies wie folgt geschrieben:
+        		\begin{equation}
+        			\delta: s \times a \rightarrow S^*
+        		\end{equation}
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+    		\paragraph{Startzustand ($S_0$)}
+                Ein Element $S_0 \in S$ wird als Startzustand festgelegt.
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+		\paragraph{Akzeptierende Zustände ($K$)}
+			Eine Menge $K \subseteq S$ wird als Menge der akzeptierenden Zustände festgelegt.
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         \subsection{Chomsky-Hierarchie}
             Die Chomsky-Hierarchie ordnet alle Sprachen mit 4 Typen:
 
@@ -345,5 +375,5 @@
                 Typ 2 Sprachen sind kontextfreie Sprachen und sind eine Teilmenge der Typ 1 Sprachen.
 
             \paragraph{Typ 3}
-                Typ 3 Sprachen sind reguläre Sprachen mit einer regulären Grammatik und sind eine Teilmenge der Typ 2 Sprachen.
+                Typ 3 Sprachen sind reguläre Sprachen mit einer regulären Grammatik und sind eine Teilmenge der Typ 2 Sprachen. Sie werden von endlichen Automaten akzeptiert.
 \end{document}