- Le problème à n corps
a. Qu’est-ce que le problème à n corps ?
b. Pourquoi le problème à n corps est intéressant et quelques exemples d’applications
c. Problème à n corps et théorie du chaos
d. L’avantage des simulations informatiques - Simulation du problème à n corps
a. Approche conceptuelle du problème
i. L’approche Particule-Particule
ii. Restriction au cas à 2 corps
iii. Généralisation de l’approche à plusieurs corps
b. Mise en lien entre l’approche conceptuelle et l’implémentation python
i. Avant le code, qu’est-ce qu’un intégrateur numérique ?
ii. Implémentation python - Sources bibliographiques
- Remerciements
Le problème à n corps consiste à prédire le mouvement des astres dans l’espace en fonction de certaines conditions initiales [5]. En effet, c’est grâce à Newton qui, en 1687 publia « Philosophiae naturalis principia mathematicaon » que l’on put s’intéresser aux différentes interactions entre les corps. Dans cet ouvrage, Newton énonça ce que l’on appelle aujourd’hui les lois du mouvement de Newton. Grâce à celles-ci, on a pu étudier le déplacement de 2 corps orbitant l’un autour de l’autre dans l’espace et sans aucune autre interaction gravitationnelle extérieure [7].
Malheureusement, une fois que l’on veut appliquer les lois du mouvement dans un système à 3 corps ou plus, le mouvement devient chaotique. De fait, c’est grâce à la publication du théorème de récurrence dans l’article « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique » de Henri Pointcarré que l’on a pu affirmer qu’il n’existait pas de solution analytique au problème à 3 corps [6]. Par contre, cela n’implique pas que le problème est insoluble, mais il faut nécessairement avoir recours à des techniques d’approximation ou des techniques numériques pour pouvoir résoudre le problème.
Heureusement, la puissance des ordinateurs actuels permet aujourd’hui d’augmenter les capacités de calcul et donc de faire des simulations différentes très rapidement en fonction des conditions initiales du système.
En guise de conclusion, le problème à n corps consiste donc à étudier les différentes interactions entre les corps et à prédire le mouvement des planètes dans le temps pour certaines conditions initiales.
Le problème à n corps est intéressant dans le domaine spatial. De plus, on peut aussi le retrouver dans les sciences biologiques ou encore le machine learning [5]. Cependant, la complexité des termes dans ces domaines ainsi que le manque d’articles scientifiques fondés, empêchent une bonne reformulation de l’utilisation du problème à n corps dans ces domaines et ne sera donc pas explicité ici.
Tout d’abord, dans le domaine spatial, le problème à n corps peut être utilisé dans la prédiction du mouvement d’un astéroïde. Ce qui est très intéressant puisque plusieurs centaines d’astéroïdes frôlent ou rentrent en collision avec notre planète chaque année. La prédiction du mouvement des planètes est aussi très importante en ce qui concerne l’exploration spatiale. On peut comprendre l’utilité du problème à n corps dans l’exploration de la planète Mars. De fait, la planète Mars tourne autour du soleil beaucoup moins vite que la Terre ; la distance entre la Terre et Mars varie donc de plusieurs millions de kilomètres au cours d’une année. Il faut donc savoir précisément où se trouve la planète rouge lorsqu’elle est au plus proche de la Terre afin de pouvoir minimiser le trajet [1].
Enfin, le problème est aussi pris en compte dans les cas de calculs d’orbites de stationnement de certains satellites [3].
Le problème à n corps fait partie de ce qu’on appelle la théorie du chaos. La plupart du temps, la théorie du chaos est plutôt présentée dans le cadre de la mécanique classique et non céleste. Cependant, il est intéressant de se pencher sur la théorie du chaos afin de pouvoir aborder correctement l’impossibilité de prédiction du mouvement de plusieurs corps dans l’espace.
De ce fait, il est intéressant de se pencher sur un problème classique de la mécanique newtonienne afin de comprendre cette théorie du chaos. C’est-à-dire le cas du pendule double ou encore et simplement l’étude de la météo. Ces deux systèmes dépendent énormément des conditions initiales. Par exemple, en changeant l’angle de 1° entre deux systèmes contenant un pendule double, leurs trajectoires seront totalement différentes. On comprend dès lors aisément que pour prédire le mouvement du pendule il faudrait mesurer avec une infinie précision les conditions initiales du système.
En conclusion, aussi gros que les planètes puissent nous paraître, si l’on faisait des calculs de prédiction de leurs trajectoires avec un millimètre de différence aux conditions initiales, leurs mouvements en seraient grandement influencés. Par exemple, si l’on voulait calculer le mouvement des planètes du système solaire sur une dizaine de millions d’années, alors il faudrait donner la position initiale des planètes au mètre près sinon leurs mouvements en seraient totalement imprévisibles [4]. Il est dès lors très difficile d’en prédire l’allure. Il serait alors naturel de se dire que le problème est irrésolvable. Cependant, il existe certains outils mathématiques permettant d’approximer la solution du problème.
Tout d’abord, il est important de s’abstraire de l’implémentation du code python et d’aborder en premier lieu l’approche globale que l’on va utiliser pour simuler le système. En effet, il faut savoir qu’il existe une multitude de méthodes pour simuler le problème à n corps. L’approche la plus simple est la méthode Particule-Particule.
Cette méthode consiste à trouver toutes les forces qui s’exercent sur les différents corps du système pour ensuite trouver la force résultant de chaque système. De cette force, il sera possible d’en déduire l’accélération de chaque corps. Grâce à ces données, il suffira d’intégrer les équations de mouvements afin d’avoir les trajectoires de chaque corps [2].
Dans un premier temps, contentons-nous de l’interaction gravitationnelle entre 2 corps afin de pouvoir introduire l’origine des forces entre les corps. Comme dit précédemment, d’après l’énoncé de la loi de gravitation universelle, 2 corps s’attirent de par leurs masses. De manière moins vulgaire, l’énoncé de la loi universelle est la suivante : « Deux corps ponctuels de masses respectives ma et mb s'attirent avec des forces vectoriellement opposées et de même valeur absolue. Cette valeur est proportionnelle au produit des deux masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. » Cette loi adaptée au formalisme mathématique donne 𝐹 = 𝐺*𝑚1*𝑚2/𝑟^2, 𝐺 =6.67 × 10−11m3 kg-1 s-2 m1 et m2 représentent la masse respective des 2 corps (en kg) ; r est la distance entre les 2 corps (en mètre) ; G est appelée la constante gravitationnelle.