Fixed formulas

exercise-sheet-5.Rmd

@@ -41,7 +41,7 @@ Nichtlineare Programme werden in `CasADi` in der Standardform
 \end{aligned}
 \end{equation}
 
-formuliert, wobei die vektorwertige Funktion $ g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ zusammen mit den Begrenzungen $ g_{\text{lb}}, u_{\text{lb}} \in \mathbb{R}^m $ die nichtlinearen Nebenbedingungen ausdrückt.
+formuliert, wobei die vektorwertige Funktion $g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ zusammen mit den Begrenzungen $g_{\text{lb}}, u_{\text{lb}} \in \mathbb{R}^m$ die nichtlinearen Nebenbedingungen ausdrückt.
 Für dieses Übungsblatt werden wir die Hilfsumgebung [Opti Stack](https://web.casadi.org/docs/#document-opti) nutzen, welche eine Syntax bietet, die sehr nah an die Papiernotation angelehnt ist.
 Die so formulierten NLP werden automatisch in die Standardform übertragen.
 
@@ -60,8 +60,8 @@ Beide Beispiele werden in den folgenden Abschnitten kurz vorgestellt.
 
 ## Beispiel 1: Bildrekonstruktion
 
-Wir haben ein verrauschtes schwarz-weiß Bild in Form der Matrix $ Y \in \mathbb{R}^{r \times c} $ gegeben, sodass die Elemente die Intensität der einzelnen Pixel definieren, $ 0 \leq Y_{i,j} \leq 256 $.
-Ziel ist es, eine weniger verrauschte Version $ X \in \mathbb{R}^{r \times c} $ zu rekonstruieren. Dies kann als das unbeschränkte Optimierungsproblem formuliert werden.
+Wir haben ein verrauschtes schwarz-weiß Bild in Form der Matrix $Y \in \mathbb{R}^{r \times c}$ gegeben, sodass die Elemente die Intensität der einzelnen Pixel definieren, $0 \leq Y_{i,j} \leq 256$.
+Ziel ist es, eine weniger verrauschte Version $X \in \mathbb{R}^{r \times c}$ zu rekonstruieren. Dies kann als das unbeschränkte Optimierungsproblem formuliert werden.
 
 $$
 \min_{X \in \mathbb{R}^{r \times c}} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \left( \sqrt{(X_{i,j} - Y_{i,j})^2 + 1} + \alpha \sqrt{(X_{i,j} - X_{i+1,j})^2 + (X_{i,j} - X_{i,j+1})^2 + 1} \right)