1. 当 A = I,下面方程的行视图是什么?并想象一下列视图
$$
\begin{array} { l l } 1 x + 0 y + 0 z = 2 \ 0 x + 1 y + 0 z = 3 \ 0 x + 0 y + 1 z = 4 \end{array} \quad \text { or } \quad \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } x \ y \ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 2 \ 3 \ 4 \end{array} \right]
\tag{Ex1}
$$
解: 行视图,是x = 2平面,y= 3平面,z = 4平面,相交于第一象限的(2,3,4)的点.列视图是
扩展1: 上式左边的3个方程分别乘以2,3,4,得到
DX = \left[ \begin{array} { l l l } 2 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } x \ y \ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 4 \ 9 \ 16 \end{array} \right] = B
$$
为何行视图不变?解 X 变了吗? 列视图的改变呢?
行视图不变,是因为方程左右2边只是乘以系数,平面不变,比如第一个平面还是x = 2.列改变了,但是解不变,也就是说线性组合不变,$X =x$.
扩展2: 将 Eq(Ex1) 左边的方程1加到方程2,将得到新方程组
$$
x = 2,x+y = 5,z=5
$$
行视图,列视图,系数矩阵和解是否有改变?
明显,行视图的平面不一样了,列视图也不一样了,系数矩阵也改变了,但是解还是不变
2. 查看下面方程组 $$ \begin{array} { r } x + y + z = 2 \ x + 2 y + z = 3 \ 2 x + 3 y + 2 z = 5 \end{array} $$ 注意,第3个方程式前面2个方程相加得到.前2个方程相交于一条直线L,而第三个方程包含那条直线.所以,如果x,y,z满足前2个方程,那么就满足第3个方程.所以这个方程组有无穷多解,整条直线L都是解
但,如果将第3个平面平行移动为 Eq1+Eq2 -Eq3 变成
注意,列1=列3,上式矩阵是奇异的
3. 当A是 m-n 矩阵,那么Ax = b的方程当做,行视图当做的平面,是 n 维的平面,但A的列是 m 维向量
下面例题是作用在向量上的特殊的矩阵
4. 已知,2-2单位矩阵I 乘以 $\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right]$ 还是 $\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right]$ ,而下面的P是交换矩阵(exchange matrix)
$$
\left[\begin{matrix}
0 & 1 \
1 & 0 \
\end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} y \ x \ \end{matrix} \right]
$$
而下面的矩阵R,将向量旋转
\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} y \ -x \ \end{matrix} \right]
$$
矩阵$R^2$,将向量旋转
\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} -x \ -y \ \end{matrix} \right] $$
sp:首先,怎么看出向量是90度夹角,点乘是0啊. 180度就是乘以-1.其次,注意这里为何写成
$R^2$ ,现在猜测是$R * R = R^2$
那么,有没有旋转45度的矩阵R呢?如R作用在(1,0)上,变成
再看看三维的情况,注意P是怎么变换x,y,z的顺序的 $$ Px = \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\ 1 & 0 & 0\ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} y \ z \ x \ \end{matrix} \right] $$ 而P的逆矩阵Q可以将x,y,z恢复 $$ Qx' = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1\ 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} y \ z \ x \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right] $$
sp:好像Q就是P右移1行!
**5. ** 求2-2和3-3矩阵E,可以从x的第2个分量,减去第1个分量,如: $$ E \left[ \begin{array} { l } 3 \ 5 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 3 \ 2 \end{array} \right] \quad \text { and } \quad E \left[ \begin{array} { l } 3 \ 5 \ 7 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 3 \ 2 \ 7 \end{array} \right] $$ 解:列出方程的话,还是比较明显的: $$ E = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \ -1 & 1 \ \end{matrix} \right],\quad
E = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\ -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\ \end{matrix} \right] $$
sp:是下三角,应该是后面讲到的消去矩阵
6. 什么矩阵
解: $$ P_1 = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \ \end{matrix} \right]
,\quad
P_2 = \left[\begin{matrix}
0 & 0 \
0 & 1 \
\end{matrix} \right]
$$
将 v= (5,7)分别乘以
P_2P_1v = \left[\begin{matrix} 0 \ 0 \ \end{matrix} \right] $$
7. 设 $$ A = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 2 \ 3 & 4 \end{array} \right] \quad \boldsymbol { x } = \left[ \begin{array} { r } 5 \ - 2 \end{array} \right] \quad \boldsymbol { b } = \left[ \begin{array} { l } 1 \ 7 \end{array} \right] $$ 在 Matlab下,什么命令可以测试 Ax = b
看 r = A* x - b 是否打印都是0
8. 3个未知量,2个线性方程,行视图是3维下的2个平面,而列视图是在2维空间,解通常是一个一条直线
而2个未知数x,y,4个线性方程的话,行视图2维平面下的 4 条直线,列视图是在 4维 空间.除非右边的向量是左边2个向量的线性组合,否则方程无解
1. 设 A= [.8 .3;.2 .7],将矩阵和
方式1:
%创建列向量u
u =[1;0];
% 马尔科夫矩阵
A= [.8 .3;.2 .7];
% 赋值到变量,k是一个数组
x = u; k = [0:7]
% 循环语句,size(x,2)计算的是矩阵x的第二个维度的长度,也就是有多少列
% 这里的x是列数目不断增加的矩阵,最后是2-7的矩阵
while size(x,2)<=7
u = A*u;x = [x u];
end
% 这里k的长度是7,而x矩阵的每一行都是7个元素,所以下图红蓝线分别表示x2行的值
plot(k,x);
方式2
%创建列向量u
u =[1;0];
% 马尔科夫矩阵
A= [.8 .3;.2 .7];
x = u; k = [0:7]
for j=1:7
u = A*u;x = [x u];
end
plot(k,x);图像如下所示,逐渐逼近.6和.4
2. Multiplying by A is a linear transformation. 这句话的意思是: 如果w是 u 和 v 的组合,那么Aw 就是 Au和Av ==同样的==组合! 正是因为这种线性化,所以才叫线性代数
设 $u = \left[\begin{matrix} 1 \ 0 \ \end{matrix} \right],v = \left[\begin{matrix} 0 \ 1 \ \end{matrix} \right]$,那么 Au 和 Av 就分别是A的2列.如果 $w = \left[\begin{matrix} 5 \ 7 \ \end{matrix} \right],w = cu +dv$,,那么Aw和Au,Av有什么联系?
1. 对于如下的系统,a是什么值的时候,消去会永久失败或暂时失败 $$ \begin{array} { l } a x + 3 y = - 3 \ 4 x + 6 y = 6 \end{array} $$ 解:如果 a = 2,那么消去失败,在行视图,就是2条平行的直线,没有交点.如果 a = 0,那么只需要行交换后,就可以向后替换求解
2. k是什么值的时候,消去会失败?而哪些情况可以通过行交换求解?在每种情况,判断一下解的数量 $$ \begin{array} { l } k x + 3 y = 6 \ 3 x + k y = - 6 \end{array} $$ 解:
- 如果 k = 3,那么就是2条平行直线,消去永久失败,没有解
- 如果k = -3,那么2个式子加起来,得到0=0,无穷多解
- 如果k = 0,需要换交换,1个解
3. 线性方程组不可能恰好有2个解,为什么?
- 如果(x,y,z),(X,Y,Z) 是2个解,那么其他解是什么?
- 如果25个平面相交在一个点,那它们还相交在哪里?
解:
这25个平面肯定相交于过这2点的整个直线
4. 如果行1和行2是一样的,消去可以进行到哪里?列1和列2一样,那个主元缺失? $$ \begin{array} { l l }
2 x - y + z = 0 \quad & 2 x + 2 y + z = 0 \ 2 x - y + z = 0 & 4 x + 4 y + z = 0 \ 4 x + y + z = 2 & 6 x + 6 y + z = 2 \end{array} $$ 解:如上面方程组,第一部分是相等,第一次消去之后,行2全部是0,然后r2和r3进行行交换,交换之后,第3个主元不存在,失败
如果列c1和c2相等,那么第一次消去,r2前2个位0,第2次消去,r3的前2个也为0 ,然后就失败了,没有第2个主元
5. 对于下面方程组,q是什么的时候是奇异的?而此时,当t是什么的时候,有无穷多解?求出z = 1的解 $$ \begin{array} { r } x + 4 y - 2 z = 1 \ x + 7 y - 6 z = 6 \ 3 y + q z = t \end{array} $$ 解:进行消去,可以得到 $$ \begin{array} { r } x + 4 y - 2 z = 1 \ 3y - 4z = 5 \ (q+4) z = t-5
\end{array} $$ 所以,q= -4,方程组奇异.如果此时t = 0,那么r3 就是 0=0,无穷多解.如果 z= 1,那么从r2得到y = 3,再从r1得到x =-9
6. 就算3个平面不平行,但是也可能没有交点.如果系数矩阵A的行3是前面2行的组合,如左边r3=r1+r3但右边不是.这时看上去,3个平面形成了一个三角形.例如下面方程组 $$ \begin{aligned} x+y+z = 0 \ x-2y-z = 0\ 2x-y = 4 \end{aligned} $$ 虽然没有平行的平面,但是依然没有解,看下面的图像
端视图看到的是三个平面形成了一个三角形.也就说收他们之间的交线互相平行.而如果右边加起来也刚好相等的话,那么三个平面相交成一条直线,如下
这是为什么呢?假设左边右边加起来都相等,那么等式3就是等式1,2的和,表示等式3代表的平面包含等式1,2的交线.而当左边相等右边不等的时候,也就是等式3会在相等的基础上平移,和1,2平面产生另外的交线,并且三条交线是平行的
列视图也是一样的.假设第三列是1,2列的组合,那么这三个列代表的向量就出在同一个平面上.如下所示
如果右边b向量刚好在这个平面上,就有解,而且无穷多解.但是如果b向量不在这个平面上,那么就无解
7. 如果对于A矩阵,行的和是4,8.列的和是2,s $$ A = \left[ \begin{array} { l l } a & b \ c & d \end{array} \right] \quad \begin{array} { l l } a + b = 4 & a + c = 2 \ c + d = 8 & b + d = s \end{array} $$
那么只有在s是什么值的时候,这个系统才有解?
解:不会做啊...啊,其实只要把4个式子全部加起来,可以得到 $$ a+b+c+d = 12 = 2+s \Rightarrow s = 10 $$
1. 如果A(,5,5) = 11,U(5,5) = 4,那么A(5,5)换成另外什么值的时候,A奇异?
解: 如果A(5,5)=11,并且U(5,5) = 4.那么说明,最后产生的U(5,5)通过11 -7产生的,那么如果A(5,5)= 7,最后产生的P(5,5)变成0,所以奇异
2. 假设A变成U的消去过程中,没有行交换,那么 U 的第 j 行,是A的那些行的组合?如果Ax = 0,是否Ux = 0?如果Ax = b,是否Ux = b?如果A是下三角,上三角的U是什么?
解: 很明显,U的行 j 是A的
而如果A已经是下三角,那么U就是A的对角线,自己写个例子尝试一下就会明白的!比如
$$ \begin{array} { l l } 3 x & = 3 \ 6 x + 2 y & = 8 \ 9 x - 2 y + z & = 9 \end{array} \Rightarrow \quad
\begin{array} { l } 3 x &= 3 \ 2 y &= 2 \ z &= 2 \end{array} $$ A的对角线3,2,1就是U了
3. 假设100个方程100个未知数
1. 消去其实是行之间的线性组合,所以在这个奇异系统,这100行的某些线性组合是:全部是0.
2. 奇异系统的Ax = 0有无穷多解,这意味着,这100列的某些线性组合是:全部是0
1. $M = \left[\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} \right]$ 的行列式是
解：
$$
M = \left[\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} \right]
\qquad
M^* = \left[\begin{matrix} a & b \ c-\ell a & d-\ell b \end{matrix} \right]
$$
现在计算$M^$行列式
$$
\begin{aligned}
\det M^ &= a(d-\ell b) - b(c- \ell a) \
&= (ad - bc ) + (\ell ab - \ell ab) \
&= ad -bc
\end{aligned}
$$
所以消去过程,行列式不变！当
2. 假设消去过程，有2种方式
-
$E_{21}$ 从$r_2$ 减去$r_1$ ,然后$P_{23}$ 交换$r_2,r_3$ ，整个步骤可以表达为$M= P_{23}E_{21}$ -
$P_{23}$ 交换$r_2，r_3$ ,然后$E_{31}$ 从$r_3$ 减去$r_1$ , 整个步骤可以表达为$M^*= E_{31}P_{23}$
解释一下，为何虽然E之间不同，
解： 新计算除$M，M^*$ $$ E_{21} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\ -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\ \end{matrix} \right] ,\quad
E_{31} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ -1 & 0 & 1\ \end{matrix} \right] ,\quad
P_{23} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1\ 0 & 1 & 0\ \end{matrix} \right]
\[10ex]
P_{23}E_{21} = E_{31}P_{23} = \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\
0 & 0 & 1\
-1 & 1 & 0\
\end{matrix} \right]
$$
为何会这样呢？因为先进行行交换的话，原来的 r2 变成 r3,所以需要
3. 观察一下下面的矩阵乘法
\left[ \begin{array} { l l l } 9 & 8 & 7 \ 6 & 5 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{array} \right] $$ 注意
-
$M_1$ 左乘 A，所以作用在 A 的行上，效果是交换 A的 r1,r3 -
$M_2$ 右乘 A，所以作用在 A 的列上，效果是交换 A的 c1,c3
4. 解释为何在乘法
解： 因为，E * （B的第三列） = EB的第三列，所以只要B的c3为0，那么EB的c3肯定是0。但如果B的行3都为0，E却可能把E的其他行加到行3，所以EB的行3不一定全是0
5. 把下面问题写成 Ax = b 的矩阵形式，然后求解
- X和Y的年龄之和是33，X的年龄是Y的2倍
- y = mx+c的直线方程上，（2，5），（3，7）都在这条直线上，求m和c
解： 对于第1个问题，可以写成 $$ \begin{cases} x+y= 33 \ x- 2y =0 \end{cases}
\quad \Rightarrow
\left[\begin{matrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] =
\left[\begin{matrix} 33 \ 0 \ \end{matrix} \right]
\Rightarrow x=22,y=11 $$ 第2个问题 $$ \begin{cases} 2m+c= 5 \ 3m+c =7 \end{cases}
\quad \Rightarrow
\left[\begin{matrix} 2 & 1 \ 3 & 1 \ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} m \ c \ \end{matrix} \right] =
\left[\begin{matrix} 5 \ 7 \ \end{matrix} \right]
\Rightarrow c=1,m=2 $$
6. 抛物线
解： 先列出方程 $$ \begin{cases} a+b+c = 4\ a+2b+4c = 8 \ a+3b+9c = 14 \end{cases}
\quad \Rightarrow
\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1\ 1 & 2 & 4\ 1 & 3 & 9\ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} a \ b \ c \ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 4 \ 8 \ 14 \ \end{matrix} \right]
\Rightarrow a=2,b=1,c=1
$$
注意这里为何抛物线方程也可以用线性方程组求解。虽然有
7. 如果B的列都是相同的，那么EB的列也都是相同的，这时因为，EB的列，就是 E 乘以 B 的每一列，但如果B的行都是相同的，比如[1 2 4],EB的行都不是[1,2,4]，如 $$ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4\ 1 & 2 & 4\ \end{matrix} \right] =
\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4\ 2 & 4 & 8\ \end{matrix} \right] $$
8. 增广矩阵可以一次性求解多个方程组，只要系数矩阵是一样的，对于如下2个方程组 $$ \left[ \begin{array} { l l } 1 & 4 \ 2 & 7 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } x \ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 1 \ 0 \end{array} \right] \text { and } \left[ \begin{array} { l l } 1 & 4 \ 2 & 7 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } u \ v \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } 0 \ 1 \end{array} \right] $$ 求解过程是 $$ \left[ \begin{array} { l l l l } 1 & 4 & 1 & 0 \ 2 & 7 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { r r r r } 1 & 4 & 1 & 0 \ 0 & - 1 & - 2 & 1 \end{array} \right]
\Rightarrow x = \left[\begin{matrix} -7 \ 2 \ \end{matrix} \right],x^* = \left[\begin{matrix} 4 \ -1 \ \end{matrix} \right] $$ 9. 对于如下增广矩阵，选择a,b,c,d，使得方程组没有解，或无穷多解 $$ \left[ \begin{array} { l l } A & b \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } 1 & 2 & 3 & a \ 0 & 4 & 5 & b \ 0 & 0 & d & c \end{array} \right] $$ 解：
- 只要
$d = 0 \ne c$ ，方程组无解 - 只要$d = 0 = c$ ,方程组无穷多解
a,b变量无影响！
10. 如果
解： $$ A= AI = A(BC) = (AB)C = IC = C $$
1. 对下面问题判断对错
- 如果B的c1和c3一样，那么AB的c1和c3也是一样的
对，以B对A的列组合分析即可，参见
<01-02 LK1> - 如果A的r1和r3是一样的，AB的r1和r3也是一样的
对，以A对B进行组合分析即可
<01-02 LK1> -
$(AB)^2 = A^2B^2$ 错误：$(AB)^2 = (AB)(AB) \ne A^2 B^2$ ,因为矩阵乘法不满足交换律
2. 从实践尝试一下矩阵乘法的为何不遵守交换律，遵守结合律
首先看结合律。参考下面矩阵：A是操作目标
- E将A的r1加到r2
- F将A的c1加到c2
$$ A =\left[\begin{matrix} a & b \ c & d \ \end{matrix} \right] ,\quad
E = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \ \end{matrix} \right] ,\quad
F =\left[\begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ \end{matrix} \right] $$
那么，首先计算EA: $$ E A = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 0 \ 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } a & b \ c & d \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } a & b \ a + c & b + d \end{array} \right] $$ 然后计算EAF $$ EAF = ( E A ) F = ( E A ) \left[ \begin{array} { l l } 1 & 1 \ 0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } a & a + b \ a + c & a + c + b + d \end{array} \right] $$ 现在，先进行步骤2，再进行步骤1： $$ A F = \left[ \begin{array} { l l } a & a + b \ c & c + d \end{array} \right] ,\quad
E(AF)= (EA)F = \left[ \begin{array} { c c } a & a + b \ a + c & a + c + b + d \end{array} \right] $$ 所以，矩阵乘法确实满足结合律
现在看看交换律,假设E，A不变
- E还是把A的r1加到r2
- 而F把EA的r2加到r1
现在把操作顺序缓过来，也就是先 FA,然后EFA $$ F A = \left[ \begin{array} { c c } a + c & b + d \ c & d \end{array} \right]
\Rightarrow \quad
E ( F A ) = \left[ \begin{array} { c c } a + c & b + d \ a + 2 c & b + 2 d \end{array} \right] $$ 从而，$E(FA) \ne F(EA)$,矩阵乘法确实不满足交换律
3. 对于下面矩阵，证明$(A+B)^2 \ne A^2 + 2AB +B^2$ $$ A = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 2 \ 0 & 0 \end{array} \right] \quad \quad B = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 0 \ 3 & 0 \end{array} \right] $$ 解：
$$ ( A + B ) ^ { 2 } = （A+B）(A+B) = A ^ { 2 } + A B + B A + B ^ { 2 } = \left[ \begin{array} { r r } 10 & 4 \ 6 & 6 \end{array} \right]\ \text { 但是 } A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } = \left[ \begin{array} { r r } 16 & 2 \ 3 & 0 \end{array} \right] $$ 这其实就是因为不满足交换律！
4. 对于如下矩阵A，$E_{21},E_{31}$ 在第一个主元之下产生0 $$ A = \left[ \begin{array} { l l l } 2 & 1 & 0 \ - 2 & 0 & 1 \ 8 & 5 & 3 \end{array} \right]，\quad
E _ { 21 } = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] ,\quad
E _ { 31 } = \left[ \begin{array} { r r r } 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ - 4 & 0 & 1 \end{array} \right]
$$
现在
解： $c = \left[\begin{matrix} -2 \8 \\end{matrix} \right],D = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \ 5 & 3 \end{matrix} \right],a = [2],b= \left[\begin{matrix} 1 & 0\end{matrix} \right]$,那么 $$ cb/a = \left[\begin{matrix} -2 \8 \ \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] /2 =
\left[\begin{matrix} -1 & 0 \ 4 & 0 \end{matrix} \right] $$ 那么 $$ D - cb/a = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \ 5 & 3 \end{matrix} \right] - \left[\begin{matrix} -1 & 0 \ 4 & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 3 \end{matrix} \right] $$ 就是EA的右下角部分！
1.实践问题 如果A是 m-n,B是 n-p,C是p-q，那么
- (AB)C需要的乘法次数是：
$mnp + mpq$ - A(BC)需要的乘法次数是：
$mnq+npq$
sp：原来还有这些tricks
1. 如果 A是[2,4],B是[4,7],C是[7,10]，我们计算一下,也就是 m =2,n = 4,p = 7,q= 10
$$
\begin{cases}
(AB)C = 247 + 2710 = 196\
A(BC) = 2410 + 4710 = 360\
\end{cases} $$ 所以AB先乘比较好，这样对于C这个[7,10]矩阵可以用比较上的行去乘
2. 如果都是是n个分量的列向量,你会选择
- 首先,$u^Tv$ 是 1-n 乘以 n-1,需要n次乘法,得到1-1矩阵,然后再乘以
$w^T$ 需要n次乘法,一共是2n次乘法 - 而
$vw^T$ 是 n-1 乘以 1-n,这里就需要$n^2$ 乘法,得到 n-n 矩阵,然后$u^T$ 再去乘,是 1-n 乘以 n-n,又需要$n^2$ 次乘法,所以总共是$2n^2$ 次乘法!
3. 除以mnpq,证明
3. 为了证明 (AB)C = A(BC),使用 B 的列
- 首先那么 AB 的列是
$Ab_1,...,Ab_n$ ,然后$(AB)c = c_1Ab_1+...+c_nAB_n$ - 换一种方式,$Bc$ 只有1列:
$c_1b_1+...+c_nb_n$ ,然后,$A(Bc)=A(c_1b_1+...+c_nb_n) = c1AB_1+...c_nAB_n$
这就证明了C四一列的情况.C的其他列的情况是类似的.因此证明成立.现在把结论应用到逆矩阵: 如果 BA = I, AC = I,那么左逆B和右逆C是相等的
解: 结合律的一个重要应用就是左逆=右逆,其实证明很简单 $$ B = B(AC) = (BA)C = C $$
1. 如果A是可逆的，而且AB= AC，证明 B = C. 然后对 $A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{matrix} \right]$,找到两个不同的矩阵,使得AB = AC
解:sp:这一题其实说明了，只有在A可逆情况下，AB = BC 才能推出 B = C! $$ AB = AC \Rightarrow A^{-1}AB = A^{-1}AC \Rightarrow B = C $$ 而上述的A不可逆.AB = AC,那么,A(B-C) = 0,设 $B-C = \left[\begin{matrix} a & c \ b & d \end{matrix} \right]$ ,得： $$ \left[\begin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} a & c \ b & d \end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} a+b & c+d \ a+b & c+d \end{matrix} \right] = 0
$$
所以B-C矩阵只要满足 a+b = 0,c+d = 0,也就是说 B-C 只要满足 $\left[\begin{matrix} x & y \ -x & -y \end{matrix} \right]$ 的形式即可
2. 重要 证明.如果对于A, r1 +r2 = r3,那么A就是不可逆的:
- 解释
Ax = (1,0,0)不可能有解 - 哪个预测
$b =(b_1,b_2,b_3) $ ,Ax = b有解 - 在消去的过程中,r3发生了什么
解:
- 在Ax = (1,0,0)当中,
方程1+方程2 - 方程3变成0 =1.矛盾 - 必须是
$b_1+ b_2= b_3$ - 行3变成了空行,没有第三个主元!
我们再看看列的情况： 假设对于A是3-3,并且,c1+c2 = c3 ,证明A是不可逆的:
- 找到Ax = 0的一个非0解
- 消去过程中,c1 +c2 = c3,会一直保持,解释一些为什么没有第三个主元
解：
- 向量
x = (1,1,-1)可以得到Ax = 0 - 消去后,c1和c2的最后一个元素都是0,那么c3 = c1+ c2也是0,所以第3个主元不存在
3. 假设A是可逆的,交换前两行得到B,B是可逆的吗?怎么从
解: B = PA,P是交换前2行的矩阵。那么
4. 对于下面的两个矩阵,怎么找到逆矩阵比较快呢?
$$
A = \left[ \begin{array} { l l l l } 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 3 & 0 \ 0 & 4 & 0 & 0 \ 5 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \quad B = \left[ \begin{array} { l l l l } 3 & 2 & 0 & 0 \ 4 & 3 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 5 \ 0 & 0 & 7 & 6 \end{array} \right]
$$
解: 对于A，以
\quad
B ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { r r r r } 3 & - 2 & 0 & 0 \ - 4 & 3 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & - 5 \ 0 & 0 & - 7 & 6 \end{array} \right]
$$
但是分块求逆矩阵应该不是通用的！不然在<#5.3> 的K矩阵当中，就不会提到：带状矩阵的逆矩阵通常都是一个密集矩阵。
5. 需要注意,A,B可逆,A+B不一定可逆:
- 假设A = -B，A,B都可逆，但A+B是0矩阵，肯定不可逆
- 而如果A,B不可逆，那么可以举出更多A+B不可逆的例子
但如果C = AB(A,B方阵)是可逆的,那么我们得到
6. 什么矩阵 I.乘以
解: $$ E _ { 21 } A = \left[ \begin{array} { r r } 1 & 0 \ - 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } 1 & 2 \ 2 & 6 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 2 \ 0 & 2 \end{array} \right] , \quad
E _ { 12 } E _ { 21 } A = \left[ \begin{array} { l r } 1 & - 1 \ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { r r } 1 & 0 \ - 2 & 1 \end{array} \right] A = \left[ \begin{array} { l l } 1 & 0 \ 0 & 2 \end{array} \right] $$ 然后： $$ D^{−1} * (E _ { 12 } E _ { 21 }) A = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \ 0 & 1/2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{array} { l l } 1 & 0 \ 0 & 2 \end{array} \right] = I $$ 所以，$A^{-1} = D^{−1}E _ { 12 } E _ { 21 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { r r } 6 & - 2 \ - 2 & 1 \end{array} \right]$
7. 对于下面的矩阵,C是哪3个数字的时候是不可逆的 $$ A = \left[ \begin{array} { l l l } 2 & c & c \ c & c & c \ 8 & 7 & c \end{array} \right] $$
解: c = 0(0行),c = 7(相等的列),C = 2(相等的行)
8. 假设下面的分块逆矩阵都存在,求解他们的逆矩阵 $$ \left[ \begin{array} { l l } I & 0 \ C & I \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array} { l l } A & 0 \ C & D \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array} { l l } 0 & I \ I & D \end{array} \right] $$
解：对于这个[2 2]的分块，使用 <#5.3> 例3 可求解，但更大的逆矩阵不清楚，但使用逆矩阵对上面的每一行进行组合也可以
要小心习题4的提醒 $$ \left[ \begin{array} { c c } I & 0 \ - C & I \end{array} \right] \text { and } \left[ \begin{array} { c c } A ^ { - 1 } & 0 \ - D ^ { - 1 } C A ^ { - 1 } & D ^ { - 1 } \end{array} \right] \text {and } \left[ \begin{array} { r r } - D & I \ I & 0 \end{array} \right] $$
9. 一个 4-4 矩阵，如果每一行的元素都是 0，1，2，3，而且顺序是一致的，是否有逆？如果元素是0，1，2，-3呢？这里一致的意思不是每行的元素顺序完全一样，而是元素围成环之后，元素顺序一样。
解：如果0元素都放置在对角线上，可以，但0，1，2，-3的元素不可用，因为每一行加起来都是0.
1. 设
注意，$E_1E_2E_3$ 和消去步骤是相反的(因为 <#6> 的 A = LU
1. 如果 A 已经是一个下三角，而且对角线是1，那么 U = I,L = A !
$$
A = L = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \ a & 1 & 0 \ b & c & 1 \end{array} \right]
$$
如上矩阵，看看整个 E 是：
$$
E = E _ { 32 } E _ { 31 } E _ { 21 } = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & & \ & 1 & \ & - c & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } 1 & & \ & 1 & \ - b & & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } 1 & & \ - a & 1 & \ & & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & & \ - a & 1 & \ a c - b & - c & 1 \end{array} \right]
$$
这个A比较丑陋，但在 A = LU 的形式 ，L = A, U = I,非常好
2. 当我们对如下A进行消去，注意，这个A是很特别的，其实就是L本身 $$ A = L = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & 0 & 0 \ \ell _ { 21 } & 1 & 0 \ \ell _ { 31 } & \ell _ { 32 } & 1 \end{array} \right]
\quad \text{对A}: \quad
E = L^{-1} = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & 0 & 0 \ -\ell _ { 21 } & 1 & 0 \ -\ell _ { 31 } & -\ell _ { 32 } & 1 \end{array} \right] \quad \text{消去后：} U=I $$ 同时
- 把上述对A的消去步骤，应用到
I，I变成$L^{-1}$ ! - 把上述对A的消去步骤，应用到
LU，LU变成$U$ !
也就说明了
3. 有如下结论： 如果
解：
-
$L，L_1$ 的逆矩阵就是E啊，所以$L,L_1^{-1}$ 肯定都是下三角，而D又是对角，所以左边下三角 - 同理，右边上三角。
再之，$L,L_1,U,U_1$ 对角线都是1.所以
4. 三对角矩阵 三对角矩阵只在对角线，对角线之上和之下有非0元素。我们看看对如下2个A进行LU分解 $$ A = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & & \ 1 & 1 & \ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 1 & 0 \ & 1 & 1 \ & & 1 \end{array} \right] = L I U \
A = \left[ \begin{array} { c c c } a & a & 0 \ a & a + b & b \ 0 & b & b + c \end{array} \right] = \text{(same L)} \left[\begin{matrix} a & - & -\- & b & -\- & - & c\\end{matrix} \right] \text{(same U)} $$ 所以，一个三对角矩阵 A ，有双对角(bidiagonal)的 L和U。 也正是因为如此，如对下面的矩阵 $$ T = \left[ \begin{array} { l l l l } 1 & 2 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right] $$
- 主元行都只有2个非0元素，三对角！
- 主元所在的那一列，都只有一个非0元素！
所以只要一次操作，就可以得到 <#6.3.1> ! 就是带状矩阵的思想，沿着对角线方向消去即可
5.简单但重要 如果 3-3 矩阵的主元是 5，9，3，并且没有行交换，那么左上角的 2-2 矩阵 A ，也就是去除到第3行第3列，的主元是什么？
解： 主元就是5，9啊，不会边，后面的主元不会影响到前面 的主元，因为消去从左上角开始。但是注意前提：没有行交换
1. 什么可逆矩阵
sp:那消去大矩阵就得到了被包含的小矩阵的所有消去
1. 块矩阵 $\left[\begin{matrix} A & B \ C & D \end{matrix} \right]$ 的转置是什么？ABCD是什么条件的时候，块矩阵是对称的？
解：注意，转置是 $\left[\begin{matrix} A^T & B^T \ C^T & D^T \end{matrix} \right]$,不是 $\left[\begin{matrix} A & C \ B & D \end{matrix} \right]$,块矩阵啊，好好想一下！若要对称，那么：
2. 对下面问题判断对错
-
块矩阵 $\left[\begin{matrix} 0 & A \ A & 0 \end{matrix} \right]$ 自动是一个对称矩阵 错！必须
$A^T = A$ -
如果AB是对称的，那么它们的乘积AB是对称的 错！$(AB)^T = B^TA^T = BA$,还必须有 AB = BA的条件
-
如果A不对称，那么
$A^{-1}$ 也不对称
在 <#7.2> 对称矩阵的逆矩阵也是对称的。证明过程是类似的：$(A^{−1})^T= (A^T)^{−1}$,如果要左边式子成立，$(A^T)^{−1}$ 必须等于
**3. ** 如果A,B都是对称的，那么如下肯定对称的是
a.
b.
\begin{aligned}
((A+B)(A-B))^T &= (A-B)^T(A+B)^T \ &= (A^T - B^T)(A^T + B^T) \ &= A^TA^T +A^TB^T - B^TA^T - B^TB^T\ & = AA +AB - BA -BB
\end{aligned} $$ 上面2式是不一样的，所以不是对称
c. ABA $$ (ABA)^T = A^TB^TA^T = ABC $$ 对称
d. ABAB $$ (ABAB)^T = B^TA^TB^TA^T = BABA $$ 不对称
如下题目是关于
4. 对于如下的A，分别用 PA = LU ，和
\left[ \begin{array} { c c c } & & 1\ & 1 \ 1 & \end{array} \right]
\left[ \begin{array} { l l l } 0 & 1 & 2 \ 0 & 3 & 8 \ 2 & 1 & 1 \end{array} \right] =
\left[ \begin{array} { c c c } 1 & & \ 0 & 1 & \ 0 & 1 / 3 & 1 \end{array} \right]
\left[ \begin{array} { c c c } 2 & 1 & 1 \ & 3 & 8 \ & & - 2 / 3 \end{array} \right]
$$
现在看看
5. 对于对称矩阵A
- 首先用
$E_{21}$ 消去第一个主元下面的3，然后$E_{21}AE_{21}^T$ 消去第2列的3。 - 然后用
$E_{32}$ 消去 第2个主元下面的4，然后$E_{32}E_{21}AE_{21}^TE_{32}^T$ 消去第3列的4
那么A简化为D,也就是
- & - & 1\ \end{matrix} \right] \Rightarrow
E _ { 21 } A E _ { 21 } ^ { \mathrm { T } } = \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 4 \ 0 & 4 & 9 \end{array} \right] \
E_{32} = \left[\begin{matrix} 1 & - & -\
- & 1 & -\
- & -2 & 1\
\end{matrix} \right] \Rightarrow E_{32}E_{21}AE_{21}^TE_{32}^T = \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\
0 & 2 & 0\
0 & 0 & 1\
\end{matrix} \right]
$$
关键点： 2边同时消去，直接给出了
$LDL^T$ 的对称性。L可以直接把乘数放进去就好，很容易验证
$( A x ) ^ { \mathrm { T } } y = x ^ { T } \left( A ^ { \mathrm { T } } y \right) $ 的应用：
6. 如果生产
解： 我们先列出矩阵 $$ Ax = \left[ \begin{array} { c c } 1 & 50 \ 40 & 1000 \ 2 & 50 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } x _ { 1 } \ x _ { 2 } \end{array} \right]
\[4ex]
A ^ { \mathrm { T } } y = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & 40 & 2 \ 50 & 1000 & 50 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } 700 \ 3 \ 3000 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } 6820 \ 188000 \end{array} \right]
$$
注意，
- 乘积 Ax 给出的是，生产
$\vec{x}$ 个物品所需要的原材料，和y，也就是单位耗费点乘，得到的就是总耗费 -
$A^Ty$ ,是生产(1,1)卡车和飞机的耗费，x和它点乘，也就是乘以需要的数量，得到的也是总耗费
7. 可以把分对称的A 分解为 ：三角 * 对称 $$ \text{A} = LDU \Rightarrow \quad A = L(U^T)^{-1} * U^T D U $$ 看看为什么是对称的
-
$A = L(U^T)^{-1}$ 是下三角，而且对角线都是1. 因为L下三角，而$U^T$ 也是下三角，$(U^T)^{-1}$ 的下三角，参见<#5.5 例5>，或者对$U^T$ 进行GJ消去，得到逆矩阵$(U^{T}){-1}$ 即可明白 -
$U^TDU$ 是对称的，直接转置即可明白
1. 如果
- 列都是单位向量：$|q_i|^2 = 1$
- 任意2列都是垂直的:
$q_1^T q_2 = 0$ - 求 一个 2-2的例子，其中
$q_{11} = \cos \theta$
解：
- 根据$Q^TQ = I$ ,，也就是对角线的元素都是1：
$q_i^T q_i = 1$ ,得证 - 除开对角线的元素都是0，如
$q_1^T q_2 = 0$ ,得证 - 是一个旋转矩阵： $\left[ \begin{array} { r r } \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right]$