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01-08-07 应用--计算机图形.md

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计算机图形

  • Computer Graphics：下面简称CG,本节有一些不是很懂，直接没摘抄了。如齐次坐标的定义要搞懂。后面要加深学习的话参见CG的专业书籍把

教授推荐书目：<Computer Graphics: Principles and Practices> by Foley,Van Dam, Feiner, and Hughes (Addison-Wesley, 1995).一些参考是notes by Ronald Goldman and by Tony DeRose.

在CG当中，图片被移动、大小改变、3维的被投影为2维等等。这些操作都是通过矩阵完成的，但是这些矩阵的形状是很令人惊讶的。

三维空间当中的变换是由4-4矩阵完成的。你可能会以为是3-3的矩阵才对。需要4-4，是因为，4个关键操作的其中1个，不能由3-3的矩阵乘法来完成，下面是4个关键操作

  1. 平移：把原点变换到其他一个点 $P_0= (x_0,y_0,z_0)$ （Translation :shift the origin to another point $P_o = (x_o, Y_o, z_o)$
  2. 缩放：所有方向都伸缩因子c，或者不同方向的伸缩因子是$c_1,c_2,c_3$ (Rescaling:by c in all directions or by different factors $c_1, c_2, c_3$)
  3. 旋转：绕着经过原点的轴或者经过某个$P_0$ 点的轴旋转(Rotation:around an axis through the origin or an axis through $P_o$)
  4. 投影：投影到经过原点或$P_0$ 点的平面(Projection:onto a plane through the origin or a plane through Po).

首先注意2点：

  1. CG当中使用的是齐次坐标(homogeneous coordinates) ，如点 (x,y,z)的的齐次坐标是 (x,y,z,1)，也就是在第4维添加1。
  2. 重要：CG当中是使用行向量。所以是 行*矩阵，而不是 矩阵*列

1 平移(Translation)

平移是最简单的，只需要把$v_0=(x_0,y_0,z_0)$ 加到每1个向量上,这时沿着向量 $v_0$ 平移(shift)这个3维空间。但这不是线性的！(sp:可参见 <01-07>) 。没有任何3-3的矩阵可以移动原点。所以我们把原点的坐标设为 (0,0,0,1),这就是为什么矩阵是4-4的。

原点会被移动到 $(x_0,y_0,z_0)$,向量 $v_0$ 被加到$R^3$ 下的每一个点。使用齐次坐标，下面4-4的矩阵T会把整个空间平移$v_0$ $$ \text{Translation Matrix:}\quad T = \left[ \begin{array} { l l l l } 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ x _ { 0 } & y _ { 0 } & z _ { 0 } & 1 \end{array} \right] $$ 可快速检查一下 $\left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\end{matrix} \right] T = (x_0,y_0,z_0,1)$.

为了把三维点 (0,0,0) 和 (x,y,z) 移动 $v_0$,首先切换到齐次坐标 $(0,0,0,1);(x,y,z,1)$，然后乘以T：行向量乘以T，结果还是行向量。而且任何向量 v 移动到都是 $v+v_0$:$\left[\begin{matrix} x & y & z & 1 \\end{matrix} \right] T = (x+x_0,y+y_0,z+z_0,1)$

2 缩放(Scaling)

如果要把图片缩放为90%大小，在线代的标准做法是用 0.9 乘以单位矩阵 I 得到的矩阵 $S_L$ 来代表缩放。$S_L$ 对于平面是2-2的，三维是3-3的。但在CG，因为使用齐次坐标，所以矩阵会多1行1列,下面用$S$ 表示CG下的缩放矩阵： $$ \text { Rescale a plane to 0.9: } \quad S = \left[ \begin{array} { l l l } .9 & & \ & .9 & \ & & 1 \end{array} \right]

\[4ex]

\text { Rescale a solid to c: } \quad S = \left[ \begin{array} { l l l l } c & 0 & 0 & 0 \ 0 & c & 0 & 0 \ 0 & 0 & c & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$ 所以要注意，线代的 $S_L$ 是 CI,但在CG，$S$ 不是 cI，$S$ 右下角一定是1。如 [x,y,1] 乘以S，才能得到齐次坐标下的正确答案。原点保持不变，因为 [0,0,1]S = [0,0,1]。

如果不同方向伸缩因子不一样，如果需要把x,y，z方向变为 $c_1,c_2,c_3$,此时的S矩阵如下 $$ S = \left[ \begin{array} { c c c c } c _ { 1 } & & & \ & c _ { 2 } & & \ & & c _ { 3 } & \ & & & 1 \end{array} \right] $$

总结：缩放矩阵 S 和平移矩阵 T 大小是一样的，它们可以乘起来！ 对于向量v

  1. 先平移，后缩放，是 vTS
  2. 先缩放，后皮影，是 vST

注意1，2是不等价的！ $R^3$ 下的点 $(x,y,z)$ 的齐次坐标是 $P^3$ 下的 $(x,y,z,1)$.$P^3$是一个投影空间(Projective space),注意 $P^3$ 和$R^4$ 不一样,它还是三维的。

CG使用的是仿射变换(affine transformation),也就是：线性变换+平移(shitf)。$P^3$下的仿射变换T，是由1个多了额外1列的4-4的矩阵执行的： $$ A = \left[ \begin{array} { l l l l } a _ { 11 } & a _ { 12 } & a _ { 13 } & 0 \ a _ { 21 } & a _ { 22 } & a _ { 23 } & 0 \ a _ { 31 } & a _ { 32 } & a _ { 33 } & 0 \ a _ { 41 } & a _ { 42 } & a _ { 43 } & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } T ( 1,0,0 ) & 0 \ T ( 0,1,0 ) & 0 \ T ( 0,0,1 ) & 0 \ T ( 0,0,0 ) & 1 \end{array} \right] $$ 如果是3-3矩阵，那么只有3个输出，也就是输入 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的输出。如果只有线性变换，3个输出就可以了。但当变换是仿射的，如上的4-4矩阵会包含(0,0,0)的输出，从而我们可以知道有平移的存在

3 旋转(Rotation) $R^2,R^3$ 下的旋转是由正交矩阵 Q完成的，它的行列式是 $+1$（如果行列式是-1，那么可以得到额外的镜像反射），注意还是需要使用齐次坐标： $$ \text{Plane Rotation }\quad Q = \left[ \begin{array} { c c } \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] \text { becomes } \quad R = \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] . $$ 如上矩阵是把平面绕着原点旋转，但如果要绕不同的点，如(4,5) 旋转怎么办？答案展示了齐次坐标的美丽之处：

  1. 把(4,5)平移到(0,0):$vT_-$
  2. 旋转 $\theta$ :$vT_{-} * R$
  3. 把(0,0)平移回去(4,5): $vT_{-}R * T_{+}$

$$ \boldsymbol { v } T _ { - } R T _ { + } = \left[ \begin{array} { l l l } x & y & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { r r r } 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ - 4 & - 5 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 4 & 5 & 1 \end{array} \right] $$

注意，因为 v 是行向量，所以 $T_-$ 先起作用，把旋转中心(4,5),也就是其次坐标下的(4,5,1)移动到了 $(0,0,1)$。旋转矩阵R没有改变旋转中心，最后 $T_+$ 把旋转中心移动回去（4，5，1）

三维下，旋转矩阵Q都是绕着一个轴旋转的，这个轴是不会移动的--它是$\lambda = 1$ 的特征向量所在的直线。现在假设这个轴是 Z 轴，Q当中的1表示不处理Z轴，R当中的1表示不处理原点(The 1 in Q is to leave the z axis alone, the extra 1 in R is to leave the origin alone )： $$ Q = \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \quad \text { and } \quad

R = \left[ \begin{array} { r r r} & & & 0 \ & Q & &0 \ &&&0 \ 0&0&0&1 \end{array} \right] $$ 现在假设是绕着单位向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$,这时Q需要通过三部分化为R:

$$ Q = ( \cos \theta ) I + ( 1 - \cos \theta ) \left[ \begin{array} { c c c } a _ { 1 } ^ { 2 } & a _ { 1 } a _ { 2 } & a _ { 1 } a _ { 3 } \ a _ { 1 } a _ { 2 } & a _ { 2 } ^ { 2 } & a _ { 2 } a _ { 3 } \ a _ { 1 } a _ { 3 } & a _ { 2 } a _ { 3 } & a _ { 3 } ^ { 2 } \end{array} \right] - \sin \theta \left[ \begin{array} { r r r } 0 & a _ { 3 } & - a _ { 2 } \ - a _ { 3 } & 0 & a _ { 1 } \ a _ { 2 } & - a _ { 1 } & 0 \end{array} \right] \tag{1} $$ 这个轴不会转动，因为 $\vec{a}Q = \vec{a}$.如果 a=(0,0,1) 是Z轴上，那么这个Q就是前面那个Q--也就是绕着Z轴旋转

线性变换的Q总是在R的左上角，Q的下面都是0，这时因为旋转不会移动原点。如果最小面不是0，那么变换就是仿射，原点会被移动

4 投影(Projection)

在线代课程，大多数平面会经过原点，但现实当中，大多数平面不经过原点。

  • 经过原点的平面是向量空间
  • 不经过原点的是仿射空间，它是将向量空间平移形成的

我们想要将三维向量投影到平面。设这个平面经过原点，并且其单位法向量是 $\vec{n}$ (我们设 $\vec{n}$ 为列向量).那么平面当中的向量 v 满足 $\vec{n}^T\vec{v} = 0$.投影到这个平面的矩阵是 $I - nn^T$ .向量乘以这个矩阵即可投影到这个平面，而 n 会被投影为0，平面内的向量 v 投影为自身 $$ \left( I - n n ^ { \mathrm { T } } \right) n = n - n \left( n ^ { \mathrm { T } } n \right) = 0 \quad \text { and } \quad \left( I - n \boldsymbol { n } ^ { \mathrm { T } } \right) v = v - n \left( n ^ { \mathrm { T } } v \right) = v $$ 在齐次坐标下，投影矩阵变为4-4(注意原点不移动)： $$ \text{Projectin onto the plane:}\quad n ^ { \mathrm { T } } v = 0 \qquad

P = \left[ \begin{array} { c c c c}& & & 0 \ I - n n ^ { T } & & & 0 \&&&0\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

现在投影到不经过原点的平面 $\vec{n}^T(v-v_0) = 0$，$v_0$ 是平面上的1个点。这个等式就像是右边不为0的 Av = b的等式，特解$v_0$ 被加到零空间上。

投影到放射空间，需要3步骤：

  1. 用 $T_-$ 把 $v_0$ 平移到原点
  2. 沿着n的方向投影
  3. 沿着行向量$v_0$ 平移回去

$$ T _ { - } P T _ { + } = \left[ \begin{array} { r r } I & 0 \ - v _ { 0 } & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } I - n n ^ { \mathrm { T } } & 0 \ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } I & 0 \ v _ { 0 } & 1 \end{array} \right] $$

注意$T_-,T_+$是逆矩阵

习题还出现反射(reflection)矩阵，也称为镜像(mirror)矩阵，这个CG需要第五种变换。反射移动的距离是投影的2倍：反射会穿过平面，把图像放倒平面的另一边。所以只要阿静投影矩阵的 $I - n n ^ { \mathrm { T }}$ 改为 $I - 2n n ^ { \mathrm { T }}$ 可得到镜像矩阵