+ 本文同步发表在我的洛谷博客-01 字典树学习笔记。
+但由于洛谷不允许在博客中添加外链图片，所以我们建议不要跳转至洛谷以便于获得更好的阅读体验。
+01 字典树
+前置知识：字典树。
+01 字典树是一种特殊的字典树，它会把数字看作二进制的 串存入字符串。
+在树上，除了叶子节点外的所有节点都表示一个数的范围。
+
我们在插入元素时，和在字典树中插入元素时类似的。这里不再阐述。
+插入示例代码如下：
+const int MAXN = 2e6 + 5, MAXL = 31;
+int tr[MAXN][2], cnt[MAXN], r = 1;
+void insert(int x){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (!tr[u][j]){
+ tr[u][j] = ++r;
+ }
+ u = tr[u][j];
+ cnt[u]++;
+ }
+}
+如果我们把每个节点表示的数字都存储下来，那么就会是这样：
+
再修改一下，就变成了这样：
++
那么我们就可以发现：每个节点表示的数字都是一个区间。
+那么 01 字典树能做些什么呢？它通常用来解决一些与位运算有关的问题。具体我们来看题。
+++当然，我们也可以使用 01 字典树以 的时间复杂度判断一个数字 是否出现过。相比于
+map，常数会小很多。
例 1：洛谷 U77096 字典树|the xor largest pair
+题意：给定 个正整数 ，求出
+数据范围：。
+本题我们就可以使用 01 字典树完成。
+首先，对于异或来说，。
+那么，如果我们想让这个异或值最大，对于 ，我们选择的匹配的数字的每一位就要尽可能的与 的对应位不同。
+那么，我们在存储时记录下对应位置 中 0、1 的是否出现过，查找时尽量匹配与 对应位不同的数，最后对答案求最大值即可。
参考代码如下：
+#include<bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int MAXN = 7e6 + 5, MAXL = 31;
+int tr[MAXN][2], r = 1, n, a[MAXN];
+bool cnt[MAXN];
+void insert(int x){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (!tr[u][v]){
+ tr[u][v] = ++r;
+ }
+ u = tr[u][v];
+ cnt[u] = 1;
+ }
+}
+int find(int x){
+ int u = 1, ans = 0;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (tr[u][(v ^ 1)] && cnt[tr[u][v ^ 1]]){
+ u = tr[u][(v ^ 1)];
+ ans |= ((v ^ 1) << j);
+ }else if (tr[u][v] && cnt[tr[u][v]]){
+ u = tr[u][v];
+ ans |= (v << j);
+ }else {
+ return ans;
+ }
+ }
+ return ans;
+}
+int main(){
+ ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
+ cin >> n;
+ for (int i = 1; i <= n; i++){
+ cin >> a[i];
+ insert(a[i]);
+ }
+ long long ans = -1;
+ for (int i = 1; i <= n; i++){
+ ans = max(ans, 1ll * (a[i] ^ find(a[i])));
+ }
+ cout << ans;
+ return 0;
+}
+但是，如果这道题还增加了一个操作呢？那么就来到了下一题。
+例二：CodeForces-706-D Vasiliy's Multiset
+题意：有 次询问。初始序列 中只有一个数字 。每次询问属于以下三种操作之一：
+1.+ x 表示将 加入序列 。
+2.- x 表示将 从序列 中删除。如果序列中有多个 ，那么只删除一个。
+3.? x 表示求出 。
对于每次询问 ，输出一个数表示答案。
+数据范围：。
+本题的其他实现与例 1 类似。但是增加了一个删除操作。
+我们可以对 cnt 数组进行修改。从记录一个位置是否出现过改为一个位置出现过的次数。
+删除操作就只要对对应位置的的出现次数减一即可。
+参考代码如下：
+#include<bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int MAXN = 7e6 + 5, MAXL = 31;
+int tr[MAXN][2], cnt[MAXN], r = 1;
+void insert(int x){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (!tr[u][v]){
+ tr[u][v] = ++r;
+ }
+ u = tr[u][v];
+ cnt[u]++;
+ }
+}
+int find(int x){
+ int u = 1, ans = 0;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (tr[u][(v ^ 1)] && cnt[tr[u][v ^ 1]]){
+ u = tr[u][(v ^ 1)];
+ ans |= ((v ^ 1) << j);
+ }else if (tr[u][v] && cnt[tr[u][v]]){
+ u = tr[u][v];
+ ans |= (v << j);
+ }else {
+ return ans;
+ }
+ }
+ return ans;
+}
+void del(int x){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ u = tr[u][v];
+ cnt[u]--;
+ }
+}
+int main(){
+ ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
+ int q;
+ cin >> q;
+ insert(0);
+ while (q--){
+ char s;
+ int x;
+ cin >> s >> x;
+ if (s == '+'){
+ insert(x);
+ }else if (s == '-'){
+ del(x);
+ }else {
+ cout << (x ^ find(x)) << '\n';
+ }
+ }
+ return 0;
+}
+例 3：HDU-6955 Xor sum
+题意：有 组数据，每组数据给定一个长度为 的序列 。请你找出一个异或和不小于 的最短连续子串。
+如果有多个满足要求的连续子串，输出左端点最小的。
+如果不存在这样的序列，输出 -1。
数据范围：。
+我们注意到，如果存在一个序列 ，那么有 。
+也就是说，异或满足类似前缀和的思路。
+所以，我们可以对序列 求前缀异或和，存储在数组 中。
+此时，问题就转化为了：求两个数 ，要求 和 都最小，并且满足 。
+现在，来考虑 insert 和 find 函数的实现。
我们可以把 数组记录的东西修改一下。因为我们要在满足条件的条件下使得在 一定的情况下 最大，那么我们就可以记录对应位置的 的最大值。
+insert 函数的实现如下：
void insert(int x, int l){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (!tr[u][v]){
+ tr[u][v] = ++r;
+ }
+ u = tr[u][v];
+ cnt[u] = max(cnt[u], l);
+ }
+}
+接下来是 find 函数。
首先我们需要让区间异或和 ，那么我们就看 的其中一个位数是 还是 。如果这一位是 ，那么我们在选择数字的时候就只能选择 。否则，、 都可以选择。
+如果这一位是 ，那么对应位是 的一定满足答案的要求。此时就可以更新答案。
+最后整合输出即可。
+完整代码如下：
+#include<bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int MAXV = 7e6 + 5, MAXL = 31, MAXN = 1e5 + 5;
+int n, k, r = 1, t, tr[MAXV][2], a[MAXN], qz[MAXN], cnt[MAXV];
+void insert(int x, int l){
+ int u = 1;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (!tr[u][v]){
+ tr[u][v] = ++r;
+ }
+ u = tr[u][v];
+ cnt[u] = max(cnt[u], l);
+ }
+}
+int find(int x){
+ int u = 1, ans = 0;
+ for (int j = 30; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1, z = (k >> j) & 1;
+ if (z){
+ u = tr[u][(v ^ 1)];
+ }else {
+ ans = max(ans, cnt[tr[u][(v ^ 1)]]);
+ u = tr[u][v];
+ }
+ }
+ return max(ans, cnt[u]);
+}
+void Solve(){
+ for (int i = 1; i <= r; i++){
+ tr[i][0] = tr[i][1] = cnt[i] = 0;
+ }
+ r = 1;
+ cin >> n >> k;
+ int ansl = -1, ansr = 1e9;
+ for (int i = 1; i <= n; i++){
+ cin >> a[i];
+ qz[i] = (qz[i - 1] ^ a[i]);
+ insert(qz[i - 1], i);
+ int x = find(qz[i]);
+ if (x > 0 && i - x < ansr - ansl){
+ ansl = x, ansr = i;
+ }
+ }
+
+ if (ansl == -1){
+ cout << "-1\n";
+ }else {
+ cout << ansl << ' ' << ansr << '\n';
+ }
+}
+int main(){
+ ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
+ cin >> t;
+ while (t--){
+ Solve();
+ }
+ return 0;
+}
+例 4：洛谷-P3369 普通平衡树
+题意：有 次询问，每次询问格式为 op x。具体含义如下：
-
+
- ：插入数字 。 +
- ：删除数字 。如果有多个，就只删除一个。 +
- ：询问 的排名。一个数的排名为比它小的数字加一。 +
- ：查询排名为 的数字。 +
- ：求小于 且最大的数。 +
- ：求大于 且最小的数。 +
数据范围：。
+虽然这题叫做平衡树，但是我们也可以使用 01 字典树实现。
+首先观察到 可以为负数，但 01 字典树不能使用负数，所以我们就整体加上偏移量 ，输出的时候再减去 即可。
+操作一二没啥好说的，和上面的一样。
+对于操作三，我们发现：如果当前位是 ，那么当前位是 的一定都小于当前数。答案累加即可。
+代码如下：
+void finda(int x){
+ int ans = 0, u = 1;
+ for (int j = 25; j >= 0; j--){
+ int v = (x >> j) & 1;
+ if (v){
+ ans += cnt[tr[u][0]];
+ }
+ u = tr[u][v];
+ }
+ cout << ans + 1 << '\n';
+}
+操作四和操作三差不多。代码如下：
+void findb(int x){
+ int u = 1, ans = 0;
+ for (int j = 25; j >= 0; j--){
+ if (cnt[tr[u][0]] < x){
+ x -= cnt[tr[u][0]];
+ u = tr[u][1];
+ ans |= (1ll << j);
+ }else {
+ u = tr[u][0];
+ }
+ }
+ int p = 1e7;
+ cout << ans - p << '\n';
+}
+但是对于操作五和操作六呢？
+我们可以发现：比 小且最大的数字的排名一定是 的排名减一。那么答案就是 findb(finda(x)-1)。
那么操作六也差不多。比 大且最小的数字的排名也就是 的排名加上 的出现次数 。那么答案就是 findb(finda(x)+p)。
当然操作五六也可以使用 multiset 进行维护。这里我们不在探讨。
最后，还是希望大家能把上面的四道例题消化好，在 OI 的道路上砥砺前行！
+ +
+