di J.-B. BELANGER
Paragrafo 149 - Movimento epicicloidale piano
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Moto epicicloidale planare
Attorno a un asse geometrico fisso MN, che supporremo verticale (fig. 102), ruota un solido che può essere una ruota dentata o una puleggia, ma che può ridursi a una semplice barra A. Questo corpo, nel suo movimento, trasmette il moto a un bullone o albero cilindrico verticale PQ, su cui ruotano due ingranaggi b e c che formano un unico corpo solido. Questi due ingranaggi ingranano rispettivamente con due ruote dentate B e C, che hanno i loro centri su MN, e di cui una, ad esempio C, è immobile nello spazio, mentre l'albero che la attraversa ruota. Dei due corpi A e B, uno, ad esempio B, è fissato invariabilmente sull'albero di cui MN è l'asse geometrico, mentre la barra A ruota liberamente su quest'albero. Così i due corpi rotanti A e B sono collegati tra di loro mediante il sistema solido e mobile dei due ingranaggi b e c: si tratta di trovare il rapporto delle loro velocità angolari, che indicheremo con wa e wb e il cui verso positivo è quello indicato dalle frecce.
A tale scopo, prendiamo come incognita ausiliaria la velocità angolare del sistema degli ingranaggi b e c rispetto alla barra A che muove il loro asse PQ. Questa velocità, che indichiamo con W,
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è quella che un osservatore percepirebbe, come una rotazione assoluta, se venisse inconsapevolmente trascinato nel movimento della barra A. Indichiamo, inoltre, con B, b, C e c i raggi dei quattro ingranaggi B, b, C e c. (zoom).png)
Posto ciò, osserviamo che al contatto tra gli ingranaggi b e B, il punto T, considerato come appartenente all'ingranaggio b, ha la sua velocità lineare assoluta espressa dalla risultante, che è qui una somma algebrica della sua velocità di trasmissione wa * B e della sua velocità relativa -W * b, mentre lo stesso punto T, considerato come appartenente all'ingranaggio B, ha la sua velocità lineare assoluta uguale a wb * B. Allo stesso modo, al contatto tra i due ingranaggi c e C, il punto S, appartenente all'ingranaggio c, ha la sua velocità lineare assoluta uguale a wa * C - W * c, mentre questo punto, appartenente all'ingranaggio C, è immobile. Pertanto, abbiamo le due equazioni:
Osservazioni: a seconda che B/b sia più grande o più piccolo di C/c, le due velocità angolari wa e wb del braccio A e della ruota B hanno lo stesso verso, come abbiamo supposto nella formulazione dell'equazione, o versi opposti. Se i due rapporti B/b e C/c fossero uguali, wb sarebbe zero; la ruota B sarebbe ferma come la ruota C. Senza aumentare eccessivamente il numero di denti delle quattro ruote, è possibile ottenere un rapporto molto piccolo tra le due rotazioni. Ad esempio, se prendiamo:
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b/B = 18/19
c/C = 39/37
e adottiamo per le quattro ruote b, B, C e c i numeri di denti 18, 19, 39 e 37, otteniamo:
È grazie a questa proprietà che il meccanismo in questione viene chiamato ingranaggio differenziale.
Una delle ruote B e C, o entrambe, potrebbe essere a dentatura interna. Ad esempio, il raggio primitivo della ruota immobile C può estendersi dall'asse MN fino a S', dove avviene il contatto tra questa ruota e l'ingranaggio c. Ripetendo in quest'ipotesi il ragionamento precedente, si può notare che le equazioni ottenute in precedenza si applicano, con l'unica differenza che il rapporto C/c cambia segno, quindi abbiamo (zoom).png)
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In questo caso di ingranaggio interno, è possibile ridurre i due ingranaggi b e c a uno solo (fig. 103), che ingranerà contemporaneamente in modo interno con la ruota fissa C e esternamente con la ruota mobile B.
La formula diventa in questo caso:
-- fine --
Tavola VI:
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Figura 102:
Figura 103: