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\chapter{导数与微分}  
\section{导数的有关定义}
\begin{definition}{导数}{derivative}
    设函数 $y=f(x),x\in D$。现有一点 $x_0\in D$且 $x_0+\Delta x \in D$。定义 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

    若极限
    \begin{align}
        \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
    \end{align}
    存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，称该极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数。记作
    \begin{align}
        \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \triangleq f'(x_0)
    \end{align}
\end{definition}

\begin{note}
    \begin{enumerate}
        \item 等价定义：
        
        由于当 $x \to x_0$时，有 $f(x) \to f(x_0)$，而 $\Delta x =x-x_0$，$\Delta y = f(x)-f(x_0)$，从而导数又可以表示为
        \begin{align}
            \lim_{x \to x_0}\frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\triangleq f'(x_0)
        \end{align}
        \item 左右导数
        
        $\Delta x \to 0$ 分为两种情况：$\Delta x  \to 0^{-}$ 以及
        $\Delta x  \to 0^{+}$；同理，$ x \to a$也分为两种情况：$ x \to a^{-}$以及 $ x \to a^{+}$。从而我们可以类似地得到：

        \begin{align}
            \lim_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x} \triangleq f_{-}'(x_0) 
       \end{align}

       \begin{align}
           \lim_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x} \triangleq f_{+}'(x_0) 
       \end{align}

        并且，可以给出一点导数存在的充要条件，也即：

        $f'(x_0)$ 存在 $\Leftrightarrow f_{-}'(x_0),f_{+}'(x_0) $ 均存在且相等。

        \item 可导性与连续性
        
        $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在$x_0$ 处连续，反之则不然。证明从略。
        \begin{example}
            设 \begin{align*}
                f(x) = \begin{cases}
                e^x-1, & x<0,\\
                \ln(1+2x), & x \ge 0
            \end{cases}
        \end{align*},
            
            求 $f'(0)$。
        \end{example}
        
        \begin{solution}
            先考虑连续性。
        
            由于 $f(0-0)=0=f(0+0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
        
            再考虑可导性。
        
            由于 $f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to 0_{-}}\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0_{-}}\frac{e^x-1}{x}=1$，
        
            $f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to 0_{+}}\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0_{-}}\frac{\ln(1+2x)}{x}=2 \neq f_{-}'(0)$，
        
            故 $f'(0)$ 不存在。
        \end{solution}

        \item 已知 $f(x)$ 连续，
        
        若 $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-b}{x-a}=A$，则 $f(a)=b,f'(a)=A$。

        这是因为当 $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-b}{x-a}=A$时，由于分母为 $0$，则分子必须也为 $0$ 才能存在极限；根据导数定义又能推出 $f'(a)=A$。
        \end{enumerate}
        \end{note}
    \section{可微}
    \begin{definition}{可微}{kewei}
    设函数 $y=f(x),x\in D$。现有一点 $x_0\in D$且 $x_0+\Delta x \in D$。定义 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，则称 $f(x)$在 $x_0$ 可微。将 $A\Delta x$记作 $\dd{y}$，称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$处的微分。
    \end{definition}
    
    \begin{note}
        \begin{enumerate}
            \item 可导 $\Leftrightarrow$ 可微；
            \item 若$\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x)$，则 $A=f'(x_0)$；
            \item 设 $y=f(x)$ 可导，则 $\dd{y} = \dd{f(x)}=f'(x)\dd{x}$，如 $\dd{x^3}=3x^2\dd{x}$。 
        \end{enumerate}
    
    \section{求导工具}
    （一）求导公式：
    \begin{enumerate}
        \item $C'=0$
        \item $(x^a)'=ax^{a-1}$
        \item $(a^x)'=a^x\ln a$，特别地，$(e^x)'=e^x$
        \item $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$，特别地，$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
        \item $(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x,(\tan x)'=\sec ^2 x$
    \end{enumerate}

\end{note}