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**椭圆曲线加密算法，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。**相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全，RSA加密算法也是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密（有待考证）。
比特币Bitcoin使用了 secp256k1这条特殊的椭圆曲线：
在数字货币加密中，私钥是通过随机非对称加密算法求出来的2^256^,公钥是在私钥的基础上，通过算法ECDSA（椭圆曲线数字签名算法）来实现的 $$ y^2 = x^3 +ax +6 \qquad \color{red}[-16(4a^3+27b^2 \not = 0)] $$
根据系数a,b取值的不同，函数的图像大致为：
利用上面的曲线来加密叫做椭圆曲线密码学，简称ECC
我们随机在椭圆曲线中选取一个点(x,y)，然后把我的私钥k分别和(x,y)相乘，得到kx和ky
我们将上面的kx和ky通过方法拼接在一起，得到的结果就是公钥。
-
对
kx和ky进行拼接，我们使用到的乘法是新定义的乘法 $$ kA = A + A + A+\cdots+A (\cdots = K) $$ -
kA是k个A相加，那我我们就需要先定义点与点的加法了（定义一个阿贝尔群）最后求得的结果就是公钥，所以公钥就是特定的椭圆曲线上的坐标点。
-
重复了K次，计算机能很快的给出结果嘛，可以的。
-
最终得到的公钥只是一个点，至于点的来源可以有很多。
椭圆曲线也可以有运算，像实数的加减乘除一样，这就需要使用到加群。19世纪挪威的尼尔斯·阿贝尔抽象出了加群（又叫阿贝尔群或交换群）。数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个“加法”，并用符号+表示。假定群用 表示，则加法必须遵循以下四个特性：
- 封闭性：如果a和b都是 的成员，那么a+b也是 的成员；
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c);
- 单位元：a+0=0+a=a，0就是单位元；
- 逆元：对于任意值a必定存在b，使得a+b=0。
如果再增加一个条件，交换律：a + b = b + a，则称这个群为阿贝尔群，根据这个定义整数集是个阿贝尔群。
过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C
上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况，因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。
同余就是有相同的余数，两个整数 a、 b，若它们除以正整数 m所得的余数相等，则称 a， b对于模m同余。 $$ a \equiv b (mod m) $$
椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以必须把椭圆曲线变成离散的点，要把椭圆曲线定义在有限域上。而椭圆曲线密码所使用的椭圆曲线是定义在有限域内，有限域最常见的例子是有限域GF(p)，指给定某质数p，由0,1,2...p-1共p个元素组成的整数集合中加法、二倍运算。
- P越大越好，越安全。
例如GF(233)就是 $$ y = (x ^3 + 7) (mod223) $$ 我们回想以前学的非对称加密
Alice: $$ k_a , P_a \rightarrow ;k_a , P_b = k_a\cdot(k_b\cdot G) $$ Bob: $$ k_b , P_b \rightarrow ;k_b , P_a = k_b\cdot(k_a\cdot G) $$ 去掉括号 $$ k_a\cdot(k_b\cdot G) =k_b\cdot(k_a\cdot G) $$
在模7乘法中：
- 1的逆元为1 (1*1)%7=1
- 2的逆元为4 (2*4)%7=1
- 3的逆元为5 (3*5)%7=1
- 4的逆元为2 (4*2)%7=1
- 5的逆元为3 (5*3)%7=1
- 6的逆元为6 (6*6)%7=1
并不是所有的椭圆曲线都适合加密，y^3^ = x^3^+x+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。
该公式可以自己推导，为了方便理解，可以套用以上公式，解决以下例题。
设私钥、公钥分别为d、Q，即Q = dG，其中G为基点，椭圆曲线上的已知G和dG，求d是非常困难的，也就是说已知公钥和基点，想要算出私钥是非常困难的。 **公钥加密：**选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，C = {rG, M+rQ}，其中Q为公钥。 私钥解密：M + rQ - d(rG) = M + r(dG) - d(rG) = M，其中d、Q分别为私钥、公钥。
椭圆曲线签名算法(ECDSA)。设私钥、公钥分别为d、Q，即Q = dG，其中G为基点。
私钥签名：
- 选择随机数r，计算点rG(x, y)。
- 根据随机数r、消息M的哈希h、私钥d，计算s = (h + dx)/r。
- 将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。
公钥验证签名：
- 接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。
- 根据消息求哈希h。
- 使用发送方公钥Q计算：hG/s + xQ/s，并与rG比较，如相等即验签成功。 原理：hG/s + xQ/s = hG/s + x(dG)/s = (h+xd)G/s = r(h+xd)G / (h+dx) = rG
假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要，不同的签名算法使用不同的消息摘要算法，而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：
- 产生一个随机数k
- 利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。 这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。
关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功，否则，表示验证失败。
# -*- coding:utf-8 -*-
def get_inverse(value, p):
"""
求逆元
:param value: 待求逆元的值
:param p: 模数
"""
for i in range(1, p):
if (i * value) % p == 1:
return i
return -1
def get_gcd(value1, value2):
"""
辗转相除法求最大公约数
:param value1:
:param value2:
"""
if value2 == 0:
return value1
else:
return get_gcd(value2, value1 % value2)
def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):
"""
计算P+Q
:param x1: P点横坐标
:param y1: P点纵坐标
:param x2: Q点横坐标
:param y2: Q点纵坐标
:param a: 曲线参数
:param p: 曲线模数
"""
flag = 1 # 定义符号位(+/-)
# 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod p
if x1 == x2 and y1 == y2:
member = 3 * (x1 ** 2) + a # 分子
denominator = 2 * y1 # 分母
# 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p
else:
member = y2 - y1
denominator = x2 - x1
if member * denominator < 0:
flag = 0 # 表示负数
member = abs(member)
denominator = abs(denominator)
# 化简分子分母
gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公约数
member = member // gcd
denominator = denominator // gcd
# 求分母的逆元
inverse_deno = get_inverse(denominator, p)
# 求斜率
k = (member * inverse_deno)
if flag == 0:
k = -k
k = k % p
# 计算P+Q=(x3,y3)
x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p
y3 = (k * (x1 - x3) - y1) % p
return x3, y3
def get_order(x0, y0, a, b, p):
"""
计算椭圆曲线的阶
"""
x1 = x0 # -P的横坐标
y1 = (-1 * y0) % p # -P的纵坐标
temp_x = x0
temp_y = y0
n = 1
while True:
n += 1
# 累加P,得到n*P=0∞
xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)
# 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此时n+1为阶数
if xp == x1 and yp == y1:
return n + 1
temp_x = xp
temp_y = yp
def get_dot(x0, a, b, p):
"""
计算P和-P
"""
y0 = -1
for i in range(p):
# 满足适合加密的椭圆曲线条件，Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]
if i ** 2 % p == (x0 ** 3 + a * x0 + b) % p:
y0 = i
break
# 如果找不到合适的y0返回False
if y0 == -1:
return False
# 计算-y
x1 = x0
y1 = (-1 * y0) % p
return x0, y0, x1, y1
def get_graph(a, b, p):
"""
画出椭圆曲线散点图
"""
xy = []
# 初始化二维数组
for i in range(p):
xy.append(['-' for i in range(p)])
for i in range(p):
value = get_dot(i, a, b, p)
if value is not False:
x0, y0, x1, y1 = value
xy[x0][y0] = 1
xy[x1][y1] = 1
print('椭圆曲线散点图：')
for i in range(p):
temp = p - 1 - i
if temp >= 10:
print(temp, end='')
else:
print(temp, end='')
# 输出具体坐标值
for j in range(p):
print(xy[j][temp], end='')
print()
print(' ', end='')
for i in range(p):
if i >= 10:
print(i, end='')
else:
print(i, end='')
print()
def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):
"""
计算nG
"""
temp_x = xG
temp_y = yG
while priv_key != 1:
temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)
priv_key -= 1
return temp_x, temp_y
def get_KEY():
"""
生成公钥私钥
"""
# 选择曲线方程
while True:
a = int(input('输入椭圆曲线参数a（a>0）的值：'))
b = int(input('输入椭圆曲线参数b（b>0）的值：'))
p = int(input('输入椭圆曲线参数p（p为素数）的值：'))
# 满足曲线判别式
if (4 * (a ** 3) + 27 * (b ** 2)) % p == 0:
print('输入的参数有误，请重新输入！\n')
else:
break
# 输出曲线散点图
get_graph(a, b, p)
# 选择基点G
print('在上图坐标系中选择基点G的坐标')
xG = int(input('横坐标xG：'))
yG = int(input('纵坐标yG：'))
# 获取曲线的阶
n = get_order(xG, yG, a, b, p)
# 生成私钥key，且key<n
priv_key = int(input('输入私钥key(<%d)：' % n))
# 生成公钥KEY
xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)
return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG
def encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n):
"""
加密
"""
k = int(input('输入一个整数k(<%d)用于计算kG和kQ：' % n))
kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kG
kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQ
plain = input('输入需要加密的字符串：')
plain = plain.strip()
c = []
print('密文为：', end='')
for char in plain:
intchar = ord(char)
cipher = intchar * kQx
c.append([kGx, kGy, cipher])
print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')
print()
return c
def decrypt(c, priv_key, a, p):
"""
解密
"""
for charArr in c:
kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)
print(chr(charArr[2] // kQx), end='')
print()
if __name__ == '__main__':
xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()
c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)
decrypt(c, priv_key, a, p)