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12Linear_Equations.md

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本次内容涉及线性代数，视频中大部分在讲解线性代数的知识，只稍微提及了几个matlab来实现的指令。 学了现代之后再来看一遍（逃~

求解线性方程

将线性方程组用矩阵 Ax=b 表示，则可通过求解矩阵来解方程：

高斯消去法rref()

R = rref(A) 使用 Gauss-Jordan 消元法和部分主元消元法返回A的简化行阶梯形。 对增广矩阵 [A b] 使用rref()则可以求解 Ax=b 对应的线性方程组

LU因子化

[L,U,P] = lu(A) 将满矩阵或稀疏矩阵 A 分解为一个上三角矩阵 U 和一个经过置换的下三角矩阵 L，使得 A = L*U；返回一个置换矩阵 P，并满足 A = P'*L*U。 通过执行 LU 分解，然后使用因子来简化问题，对线性方程组求解。

一些矩阵分解函数

  • qr()：正交三角分解
  • ldl()：Hermitian 不定矩阵的分块 LDL 分解
  • ilu()：不完全 LU 分解
  • chol()：Cholesky 分解
  • gsvd()：广义奇异值分解
  • svd()：奇异值分解

高效mldivide()、\

以上两种方法在对于一般的线性方程组的求解其实并不友好，过于繁琐。实际上，更加高效的方式是使用A\b（或者mldivide(A,b)）可直接求得方程组的根 向量x。

克莱默法则

求解矩阵方程 Ax=b ，x等于A的逆矩阵乘以b，即 x=A^-1^b 通过inv(A)对矩阵A求逆，然后直接计算即可：x = inv(A)*b

需要注意，矩阵A的逆矩阵可能不存在


线性系统

特征值和特征向量eig()

e = eig(A) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 的特征值； [V,D] = eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 AV = VD。

模糊综合评价中利用eig()求解最大特征根和权向量：

矩阵指数expm()

Y = expm(X) 计算 X 的矩阵指数。如果 X 有一组完整的特征向量 V 和对应特征值 D，[V,D] = eig(X)，则expm(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V； 对于逐个元素的指数运算，使用 exp()

习题

syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2;
A=[R1 0 0 R4 0;0 R2 0 -R4 R5;0 0 -R3 0 R5;1 -1 0 -1 0;0 1 -1 0 -1];
b=[V1;0;V2;0;0];
x=A\b



以上内容为个人笔记，部分图片来源于郭老师课件或课程截图。 笔记汇总：MATLAB基础教程 课程视频：https://www.bilibili.com/video/BV1DA411Y7bN