From d47af77a65caf90b55fa8fa455491734683c6806 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Til Blechschmidt Date: Tue, 30 Jan 2018 12:37:11 +0100 Subject: [PATCH 1/3] Incorporated additions from Mathe 1 --- src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex | 15 ++++++++++++--- 1 file changed, 12 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex index 82f4d89..fe1eb2a 100644 --- a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex +++ b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \section{Mengenlehre} \subsection{Naive Mengenlehre} In der naiven Mengenlehre ist eine Menge durch die Elemente, die sie umschließt, definiert. - Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$. + Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden\footnote{Ein Element darf nur einmal in der Menge vorkommen}. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$. Eine Methode zur Beschreibung einer Menge $B$, welche alle durch zwei teilbaren natürlichen Zahlen enthält, ist: @@ -15,6 +15,12 @@ B = \{a \in \mathbb{N} | a \bmod 2 = 0\} \end{equation} + Alternativ lässt sich die Bedingung auch ausschreiben: + + \begin{equation} + B = \{a | a \text{ ist eine durch zwei teilbare, natürliche Zahl}\} + \end{equation} + \subsubsection{Operatoren} Auf Mengen lassen sich - wie bei normalen Zahlen - Operatoren anwenden, die im folgenden erläutert werden sollen. @@ -110,12 +116,15 @@ Die so entstandene Menge enthält Tupel mit allen möglichen Reihenfolgen, wie z.B. $\left(a, b, a, d, c, a, b\right)$, die einen Punkt im diskreten Raum $A^n$ beschreiben. Dieses Tupel hat eine Sortierung und kann Elemente mehrfach enthalten. - \paragraph{Kleene Operation} + \paragraph{Kleenesche Hülle} Gegeben sei die Menge $A$. Für diese Menge ist die Kleene Operation folgendermaßen definiert: \begin{equation} - A^* = \bigcup_{i \in \mathbb{N} }= A^i=\Sigma^0\cup\Sigma^1\cup\Sigma^2\cup ... + A^* = \bigcup_{i \in \mathbb{N} } A^i=A^0\cup A^1\cup A^2\cup ... \end{equation} + + \paragraph{Leere Menge ($\emptyset$)} + Die leere Menge definiert eine Menge, welche keine Elemente enthält. Sie wird entweder durch $\emptyset$ oder $\{\}$ dargestellt und ist in jeder Menge enthalten, jedoch nicht in jedem Mengensystem. \subsubsection{Sprachen} Gegeben sei das Alphabet $\Sigma$. Daraus ergibt sich folgendes: From 1460b71bd244b3c45511860db0d93216440dc22f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Til Blechschmidt Date: Tue, 30 Jan 2018 13:12:32 +0100 Subject: [PATCH 2/3] Added NEA --- src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex | 25 ++++++++++++++++++-- 1 file changed, 23 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex index fe1eb2a..d51bf43 100644 --- a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex +++ b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex @@ -308,7 +308,8 @@ \end{tikzpicture} \end{center} - \subsection[DEA]{Deterministischer Endlicher Automat} + \subsection[DEA]{Deterministischer endlicher Automat} + \label{section:DiskreteMathematik:FormaleGrundlagen:DEA} Ein deterministischer endlicher Automat ist ein kantengewichteter Graph mit weiteren Eigenschaften. \subsubsection{Eigenschaften} @@ -338,6 +339,26 @@ |S| + |\Sigma| < \infty \end{equation} + \subsection[NEA]{Nicht deterministischer endlicher Automat} + Ein nicht deterministischer endlicher Automat unterscheidet sich von einem \hyperref[section:DiskreteMathematik:FormaleGrundlagen:DEA]{DEA} indem seine Zustandsüberführungsfunktion nicht eindeutig ist, sondern eine Menge von Zuständen zurückgibt. Es kann also mehrere Zustände für ein gegebenes Wort geben. + Formal wird ein NEA durch ein Quintupel aus den Elementen $(S, \Sigma, \delta, S_0, K)$ definiert: + + \paragraph{Zustände ($S$)} Eine endliche, nicht leere Menge von möglichen Zuständen des DEA. + + \paragraph{Eingabealphabet ($\Sigma$)} Eine endliche, nicht leere Menge aller Buchstaben die die Zustandsübergangsfunktion akzeptiert. + + \paragraph{Zustandsübergangsfunktion ($\delta$)} Die Übergangsrelation gibt für einen gegebenen Zustand $s \in S$ und ein Buchstaben $a \in \Sigma$ die Menge der neuen Zustände zurück. Formal wird dies wie folgt geschrieben: + \begin{equation} + \delta: s \times a \rightarrow S^* + \end{equation} + + \paragraph{Startzustand ($S_0$)} + Ein Element $S_0 \in S$ wird als Startzustand festgelegt. + + \paragraph{Akzeptierende Zustände ($K$)} + Eine Menge $K \subseteq S$ wird als Menge der akzeptierenden Zustände festgelegt. + + \subsection{Chomsky-Hierarchie} Die Chomsky-Hierarchie ordnet alle Sprachen mit 4 Typen: @@ -354,5 +375,5 @@ Typ 2 Sprachen sind kontextfreie Sprachen und sind eine Teilmenge der Typ 1 Sprachen. \paragraph{Typ 3} - Typ 3 Sprachen sind reguläre Sprachen mit einer regulären Grammatik und sind eine Teilmenge der Typ 2 Sprachen. + Typ 3 Sprachen sind reguläre Sprachen mit einer regulären Grammatik und sind eine Teilmenge der Typ 2 Sprachen. Sie werden von endlichen Automaten akzeptiert. \end{document} From da3a9f2c5733f71f20d030d30ab7c1109642df59 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Til Blechschmidt Date: Tue, 30 Jan 2018 14:59:04 +0100 Subject: [PATCH 3/3] Incorporated review changes. --- src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex | 10 +++++----- 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex index d51bf43..c28a4da 100644 --- a/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex +++ b/src/DiskreteMathematik/FormaleGrundlagen.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \section{Mengenlehre} \subsection{Naive Mengenlehre} In der naiven Mengenlehre ist eine Menge durch die Elemente, die sie umschließt, definiert. - Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden\footnote{Ein Element darf nur einmal in der Menge vorkommen}. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$. + Eine einfache Menge kann mit $A = \{a, b, c\}$ beschrieben werden. Dabei ist $A$ der Name der Menge und $a, b, c$ sind die Urelemente der Menge. Dabei sind die Elemente atomar, also nicht weiter zerlegbar und divers bzw. wohlverschieden\footnote{Jedes Element darf nur einmal in der Menge vorkommen}. Es gilt also $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$. Eine Methode zur Beschreibung einer Menge $B$, welche alle durch zwei teilbaren natürlichen Zahlen enthält, ist: @@ -123,8 +123,8 @@ A^* = \bigcup_{i \in \mathbb{N} } A^i=A^0\cup A^1\cup A^2\cup ... \end{equation} - \paragraph{Leere Menge ($\emptyset$)} - Die leere Menge definiert eine Menge, welche keine Elemente enthält. Sie wird entweder durch $\emptyset$ oder $\{\}$ dargestellt und ist in jeder Menge enthalten, jedoch nicht in jedem Mengensystem. + \paragraph{Leere Menge ($\emptyset$)} + Die leere Menge definiert eine Menge, welche keine Elemente enthält. Sie wird entweder durch $\emptyset$ oder $\{\}$ dargestellt und ist in jeder Menge enthalten, jedoch nicht in jedem Mengensystem. \subsubsection{Sprachen} Gegeben sei das Alphabet $\Sigma$. Daraus ergibt sich folgendes: @@ -355,8 +355,8 @@ \paragraph{Startzustand ($S_0$)} Ein Element $S_0 \in S$ wird als Startzustand festgelegt. - \paragraph{Akzeptierende Zustände ($K$)} - Eine Menge $K \subseteq S$ wird als Menge der akzeptierenden Zustände festgelegt. + \paragraph{Akzeptierende Zustände ($K$)} + Eine Menge $K \subseteq S$ wird als Menge der akzeptierenden Zustände festgelegt. \subsection{Chomsky-Hierarchie}