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最后的营养吸收.md

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最后的营养吸收

临考之际，基础知识的学习已经十分全面深刻，然而，想要考取满分仍然十分困难，我们必须反思，为什么即使基础知识已经掌握了，仍然无法得到满分呢？在面对过许多靠自己难以解决的问题后，我发现，的确有一些思路是我自己难以想到的，导致想不到思路的原因，我认为有以下几种：

  1. 对基础知识的理解还不够深入和准确
  2. 对某些特征的敏感程度不足
  3. 受到惯性思维的束缚

我认为，在某种程度上，学习的本质就是说服自己，因为我体验到，在学习的时候感受到的难以理解，带给我的感觉往往是我暂时还无法认同它，而这种不认同感，其产生的内因是自己的见识、眼界等，其产生的外因是则是知识本身。

例如，我在初学《高等数学》时，认为连续函数的性质、可微与可导的关系等知识不知所云，认为它们不重要，我当时的眼界认为这些内容都是理所应当的，例如函数连续的定义：$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，我就曾认为它是一个理所当然的性质，将它单独定义出来，岂不是多此一举吗？所以这个定义式在我心里曾经一度毫无地位，然而，真正面对相关题目时，却曾因为对该定义式的不敏感，导致难以对题目进行分析。

因为学习的本质是在说服自己，而每个人都是不同的，各有各的思维敏感点，只是学习知识，其实容易将自己束缚住，囚禁自己的思维，所以我们需要的是解放思想与矫正认知，而要达成这一目的，我们需要的就是实践，对于数学学习而言，最好的实践就是做题，

基于此，我提出了刷题的原则：

  • 分析：面对题目时，努力回想相关的知识点

  • 和解：若是思考了五分钟左右仍没有思路，可直接参考答案，与题目和解，因为若是思考了五分钟仍没有思路，那么这道题在考试中就是可以暂时跳过的。不过，和解其实是需要一定的心理素质的，因为这可能带给我们一些挫败的错觉。

  • 跳过：那些自己一眼就能看出解法，且参考答案与自己的思路差不多的题目，可直接跳过，因为做它们就是在浪费时间，手工计算是十分耗时的。

    • 但是，对于一些偏技术性的仍需要有意识地练习几次，例如矩阵对角化、二阶常系数非线性微分方程的求解等，它们的步骤较为繁琐，如果一个题目可以归结为这类问题，也需要练习几次相关流程。

  • 反思：结合参考答案，反思自己为什么没能考虑出这道题的思路。

    • 是由于自己的基础知识理解的不够透彻？
    • 对题目中所涉及的变化不够敏感？
    • 题目涉及的推导十分难以利用自己应掌握的内容推导出来？（也就是所谓的”超纲“）

    如果错题的原因归结到自己对于基础知识的掌握上，那么这道题就是有价值的，要抓住遇到了这道题的机会，来仔细矫正一下自己对相关知识的理解。

这篇笔记中，我将按照我的刷题原则，重点关注那些自己无法快速找到思路的题目，从而实现对相关知识的矫正。

2024.12.12 RC_diamond_GH

一、《张宇四套卷》卷一

0x00 曲线积分技巧

设 $L$ 为取正向的圆 $x^2+y^2=m,m>0$，求曲线积分 $$ \oint_L\frac{(e^{x^2}-x^2y)\mathrm dx+(xy^2-\sin y^2)\mathrm dy}{x^2+y^2} $$ 对于这道题，由于 $L$ 包含了 $(0,0)$ 这个奇点，所以我没有第一时间采用格林公式求解，而事实上，该积分可以直接转换成： $$ \frac1m\oint_L(e^{x^2}-x^2y)\mathrm dx+(xy^2-\sin y^2)\mathrm dy $$ 这样一来，就可以利用格林公式： $$ \frac 1m\iint_{x^2+y^2\le m} (x^2+y^2)\mathrm ds= \frac 1m\int_{-\pi}^\pi \mathrm d\theta\int_0^{\sqrt m} r^3\mathrm dr=\frac12\pi m $$ 很简单地就求解了出来。

0x01 泊松定理

一本 100 页的书，共有 20 个错字，每个错字等可能地出现在每页，按照泊松定理，在给定的一页上至少有 2 个错字的概率约为？

泊松定理：对于二项分布 $X\sim B(n,p)$，若 $n$ 较大，$p$ 较小，$\lambda=np$ 适中时，二项分布可用泊松分布 $P(\lambda)$ 近似表示。

一页上的错字数量满足二项分布 $X\sim B(20,\cfrac 1{100})$，它近似于泊松分布 $P(\cfrac15)$，因此： $$ P{X=0}\approx\frac{\frac{1}{5}^0e^{-1/5}}{0!}=e^{-1/5}\ P{X=1}\approx\frac{\frac{1}{5}^1e^{-1/5}}{1!}=\frac15e^{-1/5}\ $$ 因此，所求概率为： $$ 1-e^{-1/5}-\frac15e^{-1/5}=1-\frac65e^{-1/5} $$ 泊松定理存在于考纲，然而对其熟悉度较低

0x02 积分对称性的”增法“

$$ a>0,\Gamma:\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases},\oint_L(x^2+y^2)\mathrm ds=\pi,a=? $$

事实上： $$ \oint_L x^2\mathrm ds=\oint_L y^2\mathrm ds=\oint_L z^2\mathrm ds $$ 因此原积分： $$ \oint_L (x^2+y^2)\mathrm ds=\frac23\oint_L(x^2+y^2+z^2)\mathrm ds=\frac{2a^2}3\oint_L\mathrm ds=\frac{4a^2}3\pi a=\pi\ a^3=\frac34,a=\sqrt[3]{\frac34} $$

  • 对称性不仅可用于化简原积分，也可以用于凑出积分形式，从而利用积分域的特性来更强劲地化简积分

三、《张宇四套卷》卷三

0x00 二元可微性

设 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处及其附近有定义，则以下正确的是？

A. 当 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$ 时，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

B. 当 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微时， $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$ C. 当 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=0 $$ 时，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

D. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微时， $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=0 $$

我们可以设 $P=(x,y),O=(0,0)$，然后以向量视角来看这些题。

对于 A 选项，命题可表示为： $$ \lim_{P\to O}\frac{f(P)}{|P|}=0\to \exist (A,B),f(P)=f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|) $$ 也就是说，$f(P)$ 在 $P\to O$ 时是比 $|P|$ 更高阶的无穷小。也就是说，它要求后面： $$ \lim_{P\to O}\frac{f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|)}{|P|}=\lim_{P\to O}\frac{f(O)}{|P|}+(A,B)\mathbf e=0 $$ 显然，它成立的条件是 $f(O)=0,A=B=0$，因此，这个命题是不成立的。

对于 B 选项，命题可表示为： $$ \exist (A,B),f(P)=f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|)\to\lim_{P\to O}\frac{f(P)}{|P|}=0 $$ 按照命题前的式子推导： $$ \lim_{P\to O}\frac{f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|)}{|P|}=\lim_{P\to O}\frac{f(O)}{|P|}+(A,B)\mathbf e $$ 与第一问中的情形相同，这个极限未必等于 0，所以这个命题不成立。

对于 C 选项，命题可表示为： $$ \lim_{P\to O}\frac{f(P)-f(O)}{|P|^2}=0\to\exist (A,B),f(P)=f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|) $$ 分析条件可知： $$ f(P)-f(O)=o(|P|^2) $$ 分析结果可知： $$ f(P)-f(O)=(A,B)\cdot P+o(|P|) $$ 取 $(A,B)=(0,0)$，那么：$f(P)-f(O)=o(|P|)$

既然 $f(P)-f(O)$ 是比 $o(|P|^2)$ 更高阶的无穷小，那么自然也是比 $o(|P|)$ 更高阶的无穷小，因此条件是结论的充分条件，本命题成立。

对于 D 选项，命题可表示为： $$ \exist (A,B),f(P)=f(O)+(A,B)\cdot P+o(|P|)\to\lim_{P\to O}\frac{f(P)-f(O)}{|P|^2}=0 $$ 对条件进行分析： $$ f(P)-f(O)=(A,B)\cdot P+o(|P|)\ \lim_{P\to O}\frac{f(P)-f(O)}{|P|^2}=\lim_{P\to O}\frac{(A,B)\cdot P+o(|P|)}{|P|^2}=\ \lim_{P\to O}\frac{(A,B)\mathbf e}{|P|}+\lim_{P\to O}\frac{o(|P|)}{|P^2|}= \lim_{p\to 0}\frac{o(p)}{p^2} $$ 我们只知道 $o(p)$ 是比 $p$ 高阶的无穷小，但无法得知它与 $p^2$ 更高阶还是更低阶，因此无法断定后面的极限趋于 0，所以这个命题不成立。

0x01 特征向量-逆矩阵伴随矩阵的特征向量与原矩阵一致

设 $A=(a_{ij})$ 是 3 阶矩阵，$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $A^{-1}$ 的每行元素之和均为 2，且 $|A|=3$，计算 $A_{13}+A_{23}+A_{33}$

题目中加粗的条件可以直接写成： $$ A^{-1}\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix} $$ 于是乎： $$ A^{-1}\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix},A^{}\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}=6\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}\ $$ 而又有： $$ A^=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end{bmatrix} $$ 因此： $$ A^{*}\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11}+A_{21}+A_{31}\ A_{12}+A_{22}+A_{32}\ A_{13}+A_{23}+A_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\6\6\end{bmatrix} $$ 于是所求的目标就是 6

0x02 柯西中值定理

$$ f(x)=\int_1^x\sin t^2\mathrm dt,g(x)=\int_0^xf(t)\mathrm dt $$

(1) 计算 $g(1)$

(2) 证明： $$ \exist\xi\in(0,1),\int_1^\xi\sin t^2\mathrm dt=\xi(\cos1-1) $$

(1) $$ g(1)=\int_0^1\mathrm dx\int_1^x\sin t^2\mathrm dt= \int_0^1\sin t^2\mathrm dt\int_t^0\mathrm dx=\ -\int_0^1 t\sin t^2\mathrm dt=-\frac12\int_0^1\sin t^2\mathrm dt^2=\frac12\cos t^2|_0^1= \frac12(\cos1-1) $$ (2)

定义函数 $h(x)=x^2$，那么有： $$ \frac{g(1)-g(0)}{h(1)-h(0)}=\frac{\frac12(\cos1-1)}{1}=\frac1{2\xi}\int_1^\xi\sin t^2\mathrm dt,\int_1^\xi\sin t^2\mathrm dt=\xi(\cos1-1) $$

  • 我想，或许很难想到构造一个 $h(x)=x^2$ 然后利用柯西中值定理进行证明吧

李林（四）