· 发表在 Towards Data Science · 阅读时间：6 分钟 · 2024 年 7 月 12 日
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图片来源：Steve Mushero 在 Unsplash
你是否曾经陷入过一个循环，不断复习统计工具的概念，记住它们并重新回顾，但这些概念仍然难以牢记？你知道如何使用公式，但总感觉这些只是对概念的表面理解。在我成为德州大学奥斯汀分校物理实验课程 105M 的助教并应用与我们解决问题相关的统计工具时，我也曾经历过同样的困境。正是在那时，我最终理解了学生 t 检验的理论和应用，现在我真的掌握了它。
让我们从一个问题开始。
直观地，问题的答案可能是“没有”！但让我们通过使用常见的统计测试来验证这个假设。在假设检验的术语中：
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原假设 表示颜色不会影响滚动时间（没有效应）
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备择假设 表示颜色确实会影响滚动时间（存在效应）。
实验示意图 — 两个颜色不同的相似球体从斜坡上滚下
我们首先通过多次试验（比如每个小球进行 10 次试验），分别测量两个不同颜色（例如一个黑色，一个红色）的小球沿斜坡滚动所需的时间。
不同试验中获得的滚动时间差异突出显示了进行多次试验的重要性，而不是仅进行一次试验，从而有助于提供更可靠的估计。
还需要注意的是，对于估计的滚动时间，可能有许多不同的值（总体），但我们只通过有限的试验捕获这些值的样本。
来自 10 次试验的实验数据
接下来，我们计算每个小球的预期值或最佳估计滚动时间。我们假设不同试验的时间记录形成了一个随机分布，并且预期值最好由该分布的均值或平均值表示。
两个分布的最佳估计/均值的数学计算（单位为秒）
最佳估计计算的程序实现
如前所述，我们通过仅进行 10 次试验从所有可能的值（总体）中收集了有限的数据（样本）。请注意，计算出的最佳估计值来自样本分布。然而，为了更好地估计总体均值，我们计算样本分布的标准误差。标准误差帮助我们确定最佳估计值在总体中的可能范围。 它基于分布的方差，方差表示分布在均值周围的分散程度。
计算标准误差时，首先需要找到标准差（方差的平方根），然后将其除以数据点数量的平方根。
标准差和标准误差的数学计算（单位为秒）
标准误差计算的程序实现
我们观察到，两个小球的最佳估计值和标准误差是相似的（计算出的范围之间有重叠），这促使我们考虑到分布是相似的，因此颜色可能不会影响小球的滚动时间。然而，这些发现的统计学意义和可靠性如何？ 从本质上讲，这些值是否提供了足够的证据，让我们对假设做出结论？
为了衡量我们结果的确定性，并以更易于交流的方式呈现证据，我们使用检验统计量。**这些统计量帮助我们衡量获得这些结果的概率，提供一个确定性的度量。**例如，如果已知总体标准差，则使用 z 统计量；如果只知道样本标准差（如在我们的实验中），则使用 t 统计量。
我们通过双样本 t 检验比较两个样本分布（组），该检验依赖于两个组的最佳估计和方差。根据两个组之间方差的相似性，我们决定使用合并方差（如学生 t 检验用于方差相等）或 Welch t 检验（用于方差不等）。
使用统计检验，如 F 检验或 Levene 检验，我们可以评估方差的相等性。
由于计算出的两个分布的标准差（方差的平方根）非常相似，我们继续使用方差相等的学生 t 检验。我们进行双尾检验，检查分布的不等式，而不是专门寻找较小或较大的值。
我们使用合并标准差以及从两个分布中获得的均值来计算 t 得分。
双样本学生 t 检验的数学计算
学生 t 统计量计算的程序实现
正如我们观察到的，t 统计量基于两个样本均值的差异。在我们的案例中，t 统计量非常小（约-0.38），这表明两个分布的均值之间的差异也非常小。这表明两个球的记录相似，暗示出结论，即颜色对滚动时间没有显著影响。
然而，解释 t 统计量不仅仅是观察均值的微小差异，特别是因为我们只比较了两个样本（有限的试验），而不是整个总体。为了做出有根据的推断，我们需要确定临界值，然后将我们的 t 统计量与该临界值进行比较。
临界值是基于置信区间（例如，95%）和样本大小（自由度）确定的。95%置信区间（CI）意味着，如果实验重复多次，真实的均值差异将落在 95%计算出的区间内。
在我们的案例中，为了找到临界值或临界值范围（因为我们检查的是不等式），我们使用 t 分布表。对于95%置信区间的双尾检验，我们查看 0.05 显著性水平，该水平分为每个尾部 2.5%。根据我们的自由度（df = 18），临界值范围大约为-2.101 到+2.101。
双尾 t 分布，用于 95%的置信区间和 18 的自由度
我们的 t 统计量-0.38 落在 95%置信区间的临界范围内，这得出了两个关键推论。 首先，红球和黑球的滚动时间之间的观测差异非常小，表明颜色对滚动时间没有影响。其次，基于 95%的置信度，如果我们多次重复实验，红球和黑球滚动时间的真实均值差异将始终落在此范围内。
因此，我们的结果表明，两球的记录时间均值差异较小，在 95%的置信水平下是统计显著且可靠的，表明基于球的颜色，滚动时间没有实质性差异。
我很高兴记录下我的理解，希望能帮助那些像我一样在掌握这些统计工具时遇到困难的人。我期待看到其他人实现这些方法。如有未解答的问题，请随时与我联系或参考下面提到的文献。
除非另有说明，所有图片均由作者提供。
参考文献：