exercise-sheet-3.Rmd

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title: "Arbeitsblatt 3: Lagrange Multiplikatoren"
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**Note**
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Alle Aufgaben sowie die dazugehörigen Dateien können [hier](http://bioinf.uni-freiburg.de/Lehre/Courses/latest/material/optimierung-uebung3.zip) heruntergeladen werden.

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# Aufgabe 1

Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem:

$$
\underset{x \in \mathbb{R}^2}{\min}~(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 1)^2,~s.t.~\begin{cases} & \text{ } x_1 + x_2 \leq 1 \\ & \text{ } x_1 - x_2 \leq 1 \\ & \text{} -x_1 + x_2 \leq 1 \\ & \text{} -x_1 - x_2 \leq 1 \end{cases}
$$


- Für diese Aufgabe brauchen Sie nichts zu programmieren. Lösen und dokumentieren Sie die nachfolgenden Schritte auf einem Blatt Papier oder in Latex.
- Machen Sie eine Skizze des erlaubten Suchraums.
- Berechnen Sie für verschiedene Punkte `P1(0|0), P2(1|0), P3(0|1), P4(-0.5|-0.5), P5(0.5|0.5)` des Suchraums den Gradienten der Funktion und dessen Betrag. Zeichnen Sie den Gradienten in die Skizze ein.
- Wo befindet sich das Minimum der Funktion ohne Nebenbedingungen? Ist es innerhalb des Suchraums?
- In welchem Punkt $(x_1^*, x_2^*)$ aus dem Suchraum ist die Funktion minimal? Es ist ausreichend, dies anhand der Skizze zu erläutern.
- Welche Nebenbedingungen sind in diesem Punkt aktiv? Warum?
- Überprüfen Sie die KKT Bedingungen im optimalen Punkt $(x_1^*, x_2^*)$. Dabei sollen Sie das Gleichungssystem lösen um die optimalen Lambda-Werte zu finden.